Title Chương 4_Bài 3_ _Toán 12_CD_Lời giải.doc ✅

BÀI 3. TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN 1. Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân Có nhiều bài toán thực tiễn dẫn tới khái niệm tích phân. Một trong những bài toán quan trọ̣ng nhất là tính diện tích của những "hình thang cong". Trong trường hợp tổng quát, cho hàm số ()yfx liên tục, không âm trên đoạn  ;ab . Hình phẳng gồm các điểm có toạ độ (;)xy sao cho axb và 0()yfx được gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số ()yfx , trục Ox và hai đường thẳng xa , xb (Hình 6). Bằng cách chia đoạn  ;ab thành n phần bằng nhau ta lập được tổng tích phân cấp n của hàm số ()yfx trên đoạn  ;ab là: 01210121.nnnbaSTTTTfxfxfxfx n     Nhận xét: Người ta có thể chứng minh được rằng lim()()n n SFbFa  với ()Fx là một nguyên hàm của hàm số ()fx trên đoạn  ;ab . Hiệu ()()FbFa được gọi là diện tích hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số ()yfx , trục Ox và hai đường thẳng ,xaxb . Cụ thể, ở Hình 6 , ta có: hinh thang cong ()AMNBSFbFa với ()Fx là một nguyên hàm của hàm số ()fx trên đoạn  ;ab Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm sốy ()1([0;1])fxxx . Xét hình thang vuông OMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số ()1fxx , trục Ox và hai đường thẳng 0,1xx ( Hình 7) a) Tính diện tích hình thang vuông OMNB. b) Giả sử ()Fx là một nguyên hàm của hàm số ()1fxx trên đoạn 0;1 . Tính (1)(0)FF . Từ đó hãy chứng tỏ rằng hình thang vuông (1)(0)OMNBSFF . Lời giải
a) Ta có: hình thang vuông 1 () 2OMNBSOMBNOB13 (12)1. 22 b) Ta có: 2 (1)d d1 d. 2 x xxxxxxC  Như vậy 2 () 2 x Fxx là một nguyên hàm của hàm số ()1fxx trên đoạn 0;1 Ta có: 22 103 (1)(0)10. 222FF    Vậy hình thang vuông (1)(0)OMNBSFF . 2. Định nghĩa tích phân Cho ()fx là hàm số liên tục trên đoạn  ;ba . Giả sử ()Fx là một nguyên hàm của ()fx trên đoạn  ;ba Hiệu số ()()FbFa được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số ()fx , kí hiệu là ()d b a fxx  . Chú ý - Kí hiệu ()()()b aFxFbFa và đọc là ()Fx thế cận từ a đến b . Vậy ()d()()() b b a a fxxFxFbFa  . Gọi: b a  là dấu tích phân; a là cận dưới, b là cận trên; ()dfxx là biểu thức dưới dấu tích phân và ()fx là hàm số dưới dấu tích phân. - Ta quy ước: ()d0;()d()d aba aab fxxfxxfxx  . Ví dụ 2. Tính: a) 3 2 6 dxx  b) 1 0 t edt  Lời giải a) 33222 2 2 6 d33323(94)15xxx  . b) 1 1 10 0 0  d1tteteeee  . Chú ý: Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào f và các cận $a, b$ mà không phụ thuộc vào biến số x hay t , nghĩa là ()d()d bb aa fxxftt  . II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Tính chất 1. Cho hàm số ()yfx liên tục trên đoạn  ;ba . Khi đó, ta có: ()d()d bb aa kfxxkfxx  ( k là hằng số).
Ví dụ 3. Cho 2 0 cos d1xx    . Tính 2 0 2cos dxx   . Lời giải 22 00 2cos2cos212.xdxxdx    Tính chất 2. Cho (),()fxgx là các hàm số liên tục trên đoạn  ;ba . Khi đó, ta có db a fxgxx dbb aa fxxgxdx  ; db a fxgxx ddbb aa fxxgxx  ; Ví dụ 4. Tính 12 0 dxxx  . Lời giải Ta có: 111113222 00000 115 d d d00 32326 xx xxxxxxx    . Tính chất 3. Cho hàm số ()yfx liên tục trên đoạn  ;ba . Giả sử c là số thực tuỳ ý thuộc đoạn  ;ba . Khi đó, ta có: ()d()d()d bcb aac fxxfxxfxx  Ví dụ 5. Tính 1 1 dxx   . Lời giải Ta có: 10101 11010 ddd()d dxxxxxxxxxx    01 22 10 1111 001 222222 xx      . III. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP 1. Tích phân của hàm số luỹ thừa Nhận xét: Với 1 , ta có: 111 d 11 b b aa xba xx        . Ví dụ 6. Tính: a) 132 0 432dxxx  b) 4 1 1  d 2x x ; c) 3 2 1  dxx  . Lời giải a) 11113232 0000 432d4 d3 d2 dxxxxxxxx  111 43 0002xxx 44331010(2120)0. b) 441 2 11 11  d d 22xxx x   
4 1 4 2 1 1 411.xx c) 3 32121 2 1 1 31  d 2121 x xx     . 2. Tích phân của hàm số 1 ()fx x Nhận xét: Với hàm số 1 ()fx x liên tục trên đoạn  ;ba , ta có: 1  dlnlnln. b b a a xxba x  Ví dụ 7. Tính 1 2  d e x x    . Lời giải 1 12  d2ln2ln12ln2. e e xxe x       3. Tích phân của hàm số lượng giác Nhận xét sin dcoscos(cos)coscos b b a a xxxbaab  . cos dsinsinsin b b a a xxxba  . - Với hàm số 2 1 () sinfx x liên tục trên đoạn  ;ba , ta có: 21 dcotcotcotcotcot. sin b b a a xxbaab x  - Với hàm số 2 1 () cosfx x liên tục trên đoạn  ;ba , ta có: 2 1  dtantantan. cos b b a a xxba x  Ví dụ 8. Tính: a) 4 0 (sincos)dxxx    ; b) 4 22 6 11 d sincosx xx       . Lời giải a) 444 44 00 000 (sincos)dsin dcos dcossinxxxxxxxxx     b) 444 2222 666 1111 d d d sincossincosxxx xxxx      44 66 cottanxx   cotcottantan 4646     143 1312. 33 4. Tích phân của hàm số mũ