Title Chuyên đề 5_Tọa độ vecto trong không gian_Đề bài.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 5. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Khái niệm vectơ trong không gian • Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Chú ý • Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A , điểm cuối là B thì ta có một vectơ, kí hiệu là AB , đọc là "vectơ AB ". • Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là a b u v , , , , • Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ-không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau,... được phát biểu tương tự như trong mặt phẳng. 2. Các phép toán vectơ trong không gian a) Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian • Trong không gian, cho hai vectơ ab, . Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ AB a BC b = = , Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b , kí hiệu là AC a b = + . Hình 1 Chú ý • Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ. • Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, chẳng hạn: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ- không. Do đó, ta cũng định nghĩa được tổng của ba vectơ trong không gian. • Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong mặt phẳng. • Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau: ▪ Với ba điểm A B C , , trong không gian, ta có: AB BC AC + = (Quy tắc ba điểm); ▪ Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC + = (Quy tắc hình bình hành); ▪ Nếu ABCD . A B C D     là hình hộp thì AB AD AA AC + = +   (Quy tắc hình hộp). • Trong không gian, cho hai vectơ ab, . Hiệu của vectơ a và vectơ b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b , kí hiệu là a b − . • Phép lấy hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ: Với ba điểm O A B , , trong không gian, ta có: OA OB BA − = (Quy tắc hiệu). b) Tích của một số với một vectơ trong không gian Cho số thực k  0 và vectơ a  0 . Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là ka , được xác định như sau: • Cùng hướng với vectơ a nếu k  0 , ngược hướng với vectơ a nếu k  0 ;
• Có độ dài bằng k a . Quy ước: 0 0, 0 0 a k = = . Do đó ka = 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc a = 0 . Chú ý: • Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ. • Phép nhân một số với một vectơ trong không gian có các tính chất sau: Với hai vectơ bất kì ab, và hai số thực hk, , ta có: + + = + − = − k a b ka kb k a b ka kb ( ) ; ; ( ) + + = + (h k a ha ka ) ; + = h ka hk a ( ) ( ) ; + = − = − 1 ; 1 a a a a ( ) . • Hai vectơ ab, khác 0 là cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k  0 sao cho a kb = . c) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian • Trong không gian, cho hai vectơ ab, khác 0 . Lấy một điểm O tuỳ ý và vẽ hai vectơ OA a OB b = = , . • Góc giữa hai vectơ ab, trong không gian là góc giữa hai vectơ OA OB , , kí hiệu là (a b, ) . Chú ý: 0 , 180   (a b ) . • Trong không gian, cho hai vectơ ab, khác 0 . Tích vô hướng của hai vectơ a và b , kí hiệu a . b , là một số thực được xác định bởi công thức: a b a b a b  =  cos , ( ), ở đó (a b, ) là góc giữa hai vectơ ab, . Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ 0 là số 0. Chú ý • Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian có các tính chất sau: Với các vectơ bất kì a b c , , và số thực k tuỳ ý, ta có: +  =  a b b a (tính chất giao hoán); +  + =  +  a b c a b a c ( ) (tính chất phân phối); +  =  =  (ka b k a b a kb ) ( ) ( ) 2 +  a 0 , trong đó 2 a a a =  . Ngoài ra 2 a a =  = 0 0 . • Nếu ab, là hai vectơ khác 0 thì cos , ( ) . a b a b a b  = . 3. Hệ trục tọa độ trong không gian
Hệ gồm ba trục Ox Oy Oz , , đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz . Chú ý: Ta gọi i j k , , lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox Oy Oz , , . Trong hệ tọa độ Oxyz (hình vẽ 12), ta gọi: điểm O là gốc tọa độ; Ox là trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục cao; các mặt phẳng (Oxy), (Oyz Ozx ),( ) là các mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz. 4. Tọa độ của một điểm Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (hình vẽ). • Xác định hình chiếu M1 của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) . Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tìm hoành độ a , tung độ b của điểm M1 . • Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz , điểm P ứng với số c trên trục Oz . Số c là cao độ của điểm M . Bộ số (abc ; ; ) là tọa độ của điểm M trong không gian tọa độ Oxyz , kí hiệu là M a b c ( ; ; ) . Chú ý • Tọa độ của một điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz luôn tồn tại và duy nhất. • Người ta còn có thể xác định tọa độ điểm M theo cách sau (hình vẽ 14): • Xác định hình chiếu H của điểm M trên trục hoành Ox , điểm H ứng với số a trên trục Ox . Số a là hoành độ của điểm M . • Xác định hình chiếu K của điểm M trên trục tung Oy , điểm K ứng với số b trên trục Oy . Số b là tung độ của điểm M . • Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz , điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M . Khi đó, bộ số (abc ; ; ) là tọa độ của điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .
3. Tọa độ của một vectơ • Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vectơ OM . OM a b c M a b c =  ( ; ; ; ; ) ( ) • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tọa độ của một vectơ u là tọa độ của điểm A , trong đó A là điểm sao cho OA u = . • Nếu u có tọa độ (abc ; ; ) thì ta viết u a b c = ( ; ; ) , trong đó a gọi là hoành độ, b gọi là tung độ và c gọi là cao độ của vectơ u . • Với i j k , , lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox Oy Oz , , . Ta có: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , nếu u a b c = ( ; ; ) thì u ai bj ck = + + . Ngược lại, nếu u ai bj ck = + + thì u a b c = ( ; ; ) . Chú ý: Với u x y z = ( 1 1 1 ; ; ) và v x y z = ( 2 2 2 ; ; ) , ta có: 1 2 1 2 1 2 x x u v y y z z  =  =  =    = . • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A x y z ( A A A ; ; ) và B x y z ( B B B ; ; ) . Khi đó, ta có: AB x x y y z z = − − − ( B A B A B A ; ; ) . B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một tòa chung cư có chiều cao của các tầng như nhau. Một thang máy di chuyển từ tầng 10 lên tầng 26 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 26 xuống tầng 18. Hãy cho biết mối liên hệ về phương, hướng và độ dài của các vecto biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó, từ đó phát biểu một đẳng thức liên hệ giữa hai vecto đó. Câu 2: Một chiếc bàn cân đối được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và ba chân vuông góc với mặt sàn. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vecto u ) phân tán đều qua các chân bàn và tạo nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vecto x y z , , ). Hãy giải thích vì sao 1 3 x y z u = = = − . Câu 3: Một tàu kéo một xà lan trên biển di chuyển được 3km với một lực kéo có cường độ 2000 N và có phương hợp với phương dịch chuyển một góc 30 . Tính công thực hiện bởi lực kéo nói trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của Jun).