Title BÀI 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

CHƯƠNG II : ĐƯỜNG TRÒN Bài 2 : Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn I . Tóm tắt lí thuyết Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn a. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau Khi đường thẳng d và đường tròn (O) có hai điểm chung, ta nói đường thẳng d và đường tròn (O) cắt nhau. Đường thẳng d gọi là cát tuyến của đường tròn (O) Ta có 22;OHRHAHBROH (R là bán kính đường tròn (O)) b. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau Khi đường thẳng d và đường tròn (O) có một điểm chung ta nói đường thẳng d và đường tròn (O) tiếp xúc nhau. Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O) Điểm chung của đường thẳng d và đường tròn (O) gọi là tiếp điểm Khi đó ;OCdOCR c. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau Khi đường thẳng d và đường tròn (O) không có điểm chung, ta nói đường thẳng d và đường tròn (O) không giao nhau Khi đó OHR II. Bài tập Bài 1: Cho đường thẳng d và đường tròn (O) không giao nhau. Chứng minh rằng mọi điểm thuộc đường thẳng d đều nằm ngoài đường tròn (O) Định hướng lời giải : Ta sẽ dựa vào định nghĩa để chứng minh tức là ta cần chứng minh khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến các điểm trên đường thẳng đều lớn hơn bán kính đường tròn (O). Ta để ý đến giả thiết cho đường thẳng d và đường tròn (O) không giao nhau tức là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d lớn hơn bán kính đường tròn. Từ đó ta nghĩ ngay đến việc hạ OHdHdOHR mà với mọi điểm A thuộc d thì OAOH nên OAR . Ta đã có được điều cần chứng minh Lời giải: Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với d và cắt d tại H Do d và (O) không giao nhau nên OHR với R là bán kính của (O) Giả sử A là điểm bất kì thuộc d OAOHR Suy ra A nằm ngoài đường tròn (O) Vậy nên mọi điểm thuộc d đều nằm ngoài đường tròn (O) Nhận xét : Đây là một tính chất cơ bản mà bạn đọc cần phải biết. Dưới đây là một số tính chất khác xin mời bạn đọc tự chứng minh : 1. Một đường thẳng d đi qua một điểm nằm trong đường tròn (O;R) thì đường thẳng này phải cắt đường tròn này tại 2 điểm phân biệt
2. Nếu một đường thẳng d cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt A, B thì mọi điểm nằm giữa A và B đều nằm trong đường tròn (O;R) các điểm còn lại trên đường thẳng d sẽ nằm ngoài đường tròn Bài 2: Cho hình thang vuông  90,4,13,9ABCDADABcmBCcmCDcm a. Tính độ dài AD b. Chứng minh đường thẳng AD tiếp xúc đường tròn có đường kính BC Định hướng lời giải : Phần a) của bài toán yêu cầu tính AD là khá dễ dàng và đã quen thuộc với chúng ta vì chỉ cần sử dụng kiến thức lớp 9. Chỉ cần kẻ BH vuông góc với CD thì ta được hình chữ nhật ABHD nên sẽ thu được DH từ đó cũng tính được CH. Sau đó sử dụng định lí Pytago trong tam giác BHC vuông tại H sẽ tính được BHAD . Phần b) bài toán yêu cầu chứng minh AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính. Để chứng minh thì ta sẽ áp dụng định nghĩa đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn tới đường thẳng đó bằng bán kính đường tròn đó. Như vậy từ O là trung điểm của BC và cũng là tâm của đường tròn đường kính BC ta sẽ dựng đường thẳng vuông góc với AD và cắt AD tại E. Ta cần chứng minh 2 BC OE . Dễ thấy OE là đường trung bình của hình thang ABCD nên E là trung điểm của AD nên suy ra 13 222 ABCDBC OE  đpcm Lời giải: a. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với CD và cắt CD tại H Khi đó tứ giác ABHD là hình chữ nhật ;4ADBHDHABcm 945HCCDDHcm Theo định lí Pytago trong tam giác BHC vuông tại H có 22222 135144BHBCCH 12ADBHcm b. Gọi E; O lần lượt là trung điểm của AD; BC Khi đó EO là đường trung bình của hình thang ////ABCDEOABCD EOAD Mà 13 222 ABCDBC EO  Do đó AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC Nhận xét : Đây là một bài tập khá cơ bản giúp chúng ta ghi nhớ được lý thuyết và biết cách chứng minh một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn một cách đơn giản và “thô sơ” nhất Bài 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh : a. CECF b. AC là tia phân giác của góc  BAE c. 2.CHAEBF Định hướng lời giải : Chúng ta sẽ dễ dàng nhận ra ngay tứ giác ABFE là hình thang và có ////OCAEBF nên OC là đường trung bình của hình thang ABFE (vì O là trung điểm của AB). Do đó suy ra CECF . Phần b) yêu cầu chứng minh AC là phân giác của  BAE tức là ta cần chứng minh  CAECAB . Ta phải tìm một yếu tố trung gian nào đó để so sánh 2 góc này. Đó chính là góc  ACO vì ta thấy ngay AOC cân tại O nên  CAOACO và  CAEACO do //AEOC . Vậy nên ta đã chứng minh được  CAECAB . Chuyển sang phần c) yêu cầu chứng minh 2.CHAEBF . Ta thấy vế trái có xuất hiện 2CH , từ hình vẽ ta sẽ thấy ngay 2 .CHAHBH . Như vậy ta chỉ cần chứng minh ..AHBHAEBF . Mà theo phần b) lại có CA là phân
giác của  BAE nên ta dễ dàng chứng minh được AEAH và tương tự là BFBH . Từ đó ta có điều cần chứng minh Lời giải: a. Ta có AEd và CFd //AECF tứ giác AEFB là hình thang Lại có O là trung điểm của AB và ////OCAECF (vì OCd ) C là trung điểm của EFCECF b. Do  //AEOCCAEACO (2 góc so le trong) (1) Mặt khác : OCOAAOC cân tại O   2ACOOAC Từ (1) và (2), suy ra :  CAECAO Xét ACE và ACH  90AECAHC  CAECAH AC cạnh chung ACEACH (cạnh huyền - góc nhọn)  CAECAH AC là phân giác của  BAE c. Do C thuộc nửa đường tròn đường kính AB 2 AB OCOAOB ABC vuông tại C Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại C, đường cao CH có : 2.3CHAHBH Theo phần b) ta có ACEACH 4AHAE Tương tự ta cũng có 5BHBF Từ (3), (4) và (5), suy ra : 2.CHAEBF đpcm Nhận xét : Đây là một bài toán quen thuộc mà chắc chắn bạn đọc đều đã được gặp vì cùng một thế hình này ta có khá nhiều giả thiết có thể khai thác được. Ngoài 3 kết quả ở bài toán trên ta còn có thể thu được kết quả đó là EHF vuông tại H và AB là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp EHF