Title Đội tuyển 2019.pdf ✅

1 Bài kiểm tra Thời gian: 4h Bài 1. Vệ tinh Một vệ tinh dùng năng lượng mặt trời được phóng với vận tốc ban đầu v0 từ Trái đất lên quỹ đạo nhật tâm hình elip với mục đích thu được càng nhiều năng lượng mặt trời càng tốt. Góc phóng có thể thay đổi tùy ý. i) Tính vận tốc tối thiểu vm cần thiết để vệ tinh đạt được quỹ đạo nhật tâm hình ellip? ii) Tính vận tốc của vệ tinh ngay sau khi thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái đất? iii) Viết biểu thức cường độ bức xạ trung bình của Mặt trời trong khoảng thời gian dài theo bán trục lớn a, mô men động lượng J, chu kỳ quỹ đạo T và khối lượng m. iv) Tính giá trị cường độ bức xạ trung bình cực đại mà vệ tinh thu được và góc phóng so với chuyển động của Trái đất? Khối lượng của Mặt trời là M⊙, bán kính quỹ đạo Trái đất R⊕, gia tốc rơi tự do trên Trái đất g, bán kính Trái đất r⊕ và độ sáng của Mặt trời L⊙, Bài 2. Con lăn. Một con lăn gồm một hình trụ rắn đồng nhất có khối lượng M và bán kính r; nó nằm trên một mặt bàn nằm ngang và được gắn vào tường thông qua một lò xo xoắn của hằng số lò xo k (xem hình vẽ). Lò xo có thể được coi là có khối lượng không đáng kể và lý tưởng, tức là luật Hooke vẫn còn đúng đối với các biến dạng lớn tùy ý. i) Ban đầu, giả sử rằng không có ma sát giữa hình trụ và mặt bàn. Con lăn được đẩy sang một bên và thả; tìm chu kì dao động T0. ii) Từ giờ trở đi, hệ số ma sát giữa con lăn và mặt bàn μ không được bỏ qua. Con lăn được đẩy sang một bên và bắt đầu lăn qua lại. Đối dao động biên độ dao động nhỏ, không có hiện tượng trượt giữa con lăn và mặt bàn. Tìm chu kì dao động mới Tr . iii) Nếu biên độ dao động ban đầu (được đo bằng biến dạng x của lò xo) lớn hơn một giá trị tới hạn nhất định A⋆ , biên độ dao động bắt đầu giảm theo thời gian. Viết biểu thức của A⋆ theo k, M, r, gia tốc rơi tự do g và μ. iv) Giả sử biên độ ban đầu A0 rất lớn so với A⋆ , vận tốc góc lớn nhất của hình trụ trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ T/2 bằng bao nhiêu, trong đó t là thời gian trôi qua kể từ khi thả con lăn?
2 v) Giả sử rằng A0 >> A⋆ , vẽ phác họa đồ thị định tính biểu diễn sự phụ thuộc của εr và a như là một hàm của thời gian; ở đây ε và a tương ứng là gia tốc góc và gia tốc tuyến tính của con lăn. Bài 3. Chuyển động trong từ trường B. Các hạt có khối lượng m và điện tích q được phóng từ gốc tọa độ với tốc độ v, song song với trục x. Có một màn chắn tại x = l. i) Hạt đầu tiên được phóng khi có một điện trường đều song song với trục x và không có từ trường. Độ lớn của điện trường bằng bao nhiêu để hạt này không bao giờ tới được màn? ii) Sau đó, điện trường được ngắt, một từ trường đều trong khu vực l > x > 0 được bật lên và hạt thứ hai được phóng ra. Biết rằng vận tốc của hạt chỉ vừa đủ lớn để chạm tới màn, vẽ phác họa quỹ đạo và xác định độ lới của từ trường B. iii) Cuối cùng, một điện trường nằm trong mặt phẳng x, y được bật trong khi từ trường B được giữ nguyên. Hạt thứ ba được bắn ra từ gốc tọa độ, vẫn song song với trục x, nhưng với một vận tốc khác. Quan sát thấy rằng, các hạt này chuyển động mà không bị lệch. Hơn nữa, thời gian để nó chạm tới màn cũng giống như đối với hạt thứ hai. Tìm độ lớn của điện trường E. iv) Không liên quan đến các câu hỏi trước, chúng ta nghiên cứu một từ trường không đồng nhất yếu: các đường sức từ có bán kính cong lớn hơn nhiều bán kính quỹ đạo của các hạt. Dường như trong trường hợp đó, điều gọi là bất biến của một hạt trong từ trường được bảo toàn: từ thông bao bởi quỹ đạo xoắn ốc của hạt vẫn không đổi với độ chính xác cao dọc theo quỹ đạo. Khảo sát một mô hình đơn giản để biết cách các hạt gió mặt trời tương tác với từ tính của Trái đất. Độ lớn của từ trường Trái đất trên trục từ của nó có thể được biểu diễn là B(z) = BE ( RE z ) 3 , trong đó BE = 3.12 × 10−5 T là độ lớn từ trường ở bề mặt Trái đất tai cực từ, RE = 6370 km là bán kính Trái đất và z được đo từ tâm Trái đất. Một electron mang điện tích −e = −1,60 × 10−19 C và khối lượng me = 9,11 × 10−31 kg đang tiến gần Trái đất với tốc độ u0 = 500km/s và chạm vào từ trường của Trái đất ngay trên trục của nó ở khoảng cách R0 = 5RE với một góc α và bắt chuyển động xoắn ốc về phía Trái đất. Nếu α quá lớn, hạt sẽ bị phản xạ bởi sự tăng độ lớn của từ trường khi hạt tới gần Trái đất. Tìm điều kiện α để hạt tới được bề mặt Trái đất. Bỏ qua mọi tác động hấp dẫn và/hoặc tương đối tính. Bài 4: Đường đoản thời Xét hai điểm A và B cách nhau một khoảng H theo phương thẳng đứng, và một khoảng L theo phương ngang, trong trường hấp dẫn có gia tốc g. Một chất điểm có thể trượt dọc theo đường nối từ A đến B (bỏ qua tất cả ma sát). Đường đoản thời được định nghĩa là đường mà chất điểm chuyển động trên đường này mất ít thời gian nhất.
3 (trong hình trên: maximal speed: đường đi mà chất điểm có tốc độ lớn nhất, brachistochrone: đường đoạn thời, và shortest path: đường đi có chiều dài ngắn nhất) i) Tính thời gian mà chất điểm đi theo đường có tốc độ lớn nhất, và thời gian mà chất điểm đi theo đường có chiều dài ngắn nhất. Tính tỉ số L/H nếu hai thời gian này bằng nhau. ii) Theo nguyên lí Fermat, ánh sáng sẽ truyền từ điểm này đến điểm kia theo đường có thời gian ngắn nhất. Giả thiết trong một môi trường nào đó, ánh sáng truyền từ A đến B theo đường đoản thời (như hình vẽ trên). Tìm chiết suất phụ thuộc vào tọa độ x và y, n = n(x, y), biết n(L, H) = 1. iii) Chứng minh rằng đường đi của ánh sáng trong môi trường có chiết suất n(x, y) = n(y) thỏa mãn phương trình vi phân dy dy = √C. n(y) 2 − 1 trong đó C là hằng số xác định từ điều kiện biên. iv) Phương trình thu được ở trên có thể dùng để giải thích hiện tượng ảo ảnh, vốn xuất hiện khi chiết suất của ánh sáng tăng theo độ cao. Xét một tia sáng chiếu là là xuống mặt đất (y = 0) sau đó tới đập vào mắt người có chiều cao h (với nhiệm vụ này hãy chọn chiều dương của trục x hướng từ dưới lên trên). Giả sử chiết suất có dạng n(y) = n0 (1 + αy), trong đó n0 và α là hằng số. Tìm khoảng cách biểu kiến d (xem hình dưới). v) Bằng cách cách các giải phương trình thu được trong phần (ii) và (iii), ta có thể chứng minh rằng đường cong đoạn thời thực ra là một cung của đường cong cycloid. Đường cong cycloid là quĩ đạo của một điểm cố định trên đường tròn (bánh xe) tạo ra khi đường tròn này lăn không trượt trên một đường thẳng. Xét trường hợp đặc biệt L H = π 2 , tìm thời gian đi ngắn nhất tmin giữa A và B. Bài 5: Chất khí tự hấp dẫn Xét khối khí lí tưởng đơn nguyên tử tại nhiệt độ T có thể tự giữ hình dạng cân bằng ở dạng đối xứng cầu nhờ trường hấp dẫn của riêng nó. Gọi khối lượng toàn phần của chất khí là M0 và khối lượng mol là μ. Ta sẽ mô tả hàm phân bố khối lượng xuyên tâm M = M(r) và áp suất p = p(r) theo hàm của khoảng cách tính từ tâm của khối khí.
4 i) Tìm điều kiện cân bằng cho một phần nhỏ của khối khí, khối lượng m và thể tích v tại khoảng cách r từ tâm của đám khí, qua gradient áp suất p’(r) = dp dr , khối lượng M(r) và các hằng số thích hợp. Đơn giản hóa biểu thức (chú ý đến m v = ρ). ii) Chứng minh rằng năng lượng nhiệt toàn phần của chất khí có thể biểu diễn bằng U = −α ∫ Vdp trong đó V = 4 3 πr 3 , và α là thừa số, tích phân lấy từ tâm đám mây đến khoảng cách rất xa so với tâm (miền mà áp suất nhỏ để có thể bỏ qua). Tìm giá trị của α. iii) Dựa trên kết quả các phần trên, chứng tỏ rằng U = −βEG, trong đó EG là thế hấp dẫn của chất khí và β < 1 là thừa số dương. Tìm giá trị β. iv) Đánh giá một cách định tính nhiệt độ và bán kính đặc trưng của khối khí sẽ thay đổi như thế nào theo thời gian nếu xảy ra bức xạ nhiệt. Bán kính đặc trưng Rc định nghĩa là bán kính chiếm một nửa khối lượng khối khí. v) Xét khối khí plasma đã bị ion hóa hoàn toàn. Giả sử khối plasma trung hòa điện tích chỉ gồm electron và proton. Tính thừa số tỉ lệ giữa thế năng hấp dẫn toàn phần và năng lượng nhiệt toàn phần đối với khí plasma. Bài 6: Domino David đứng phía dưới cùng của một cầu thang dài vô hạn với chiều dài và chiều cao bậc thang đều bằng d. Góc của mỗi bậc thang hơi tròn. Chính giữa mỗi bậc thang ban đầu có một quân domino chiều dài √5d, chiều dầy có thể bỏ qua, dựng thẳng đứng như hình vẽ. Sau mỗi quân domino có một cái gờ để ngăn domino trượt ra sau. David cho quân domino đầu tiên một vận tốc góc ban đầu ω, các quân domino bắt đầu đổ lên nhau. Xem mọi va chạm đều là không đàn hồi, bỏ qua ma sát giữa domino. David thấy rằng sau một lúc, tất cả quân domino vận tốc góc bằng vận tốc góc ω. Hãy tìm ω.