Title CHỦ ĐỀ 2. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC.doc ✅

CHỦ ĐỀ 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp đưa về tổng bình phương Phương pháp giải Giả sử cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Ta biến đổi P về dạng 222 PaAbBcCD trong đó D có giá trị không đổi, a, b, c cùng dấu.  Nếu ,,0abc thì PD . Ta có giá trị nhỏ nhất của P là D nếu tồn tại đẳng thức 0ABC .  Nếu ,,0abc thì PD . Ta có giá trị nhỏ nhất của P là D nếu tồn tại đẳng thức 0ABC . Bài tập mẫu Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2769Axx  Giải chi tiết Ta có: 227697(3)Axxx . Do 2(3)0,xx nên 27(3)7Ax . Đẳng thức xảy ra khi 3x . Vậy max7A . Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 538A xx  .  Giải chi tiết Điều kiện xác định của A là 0x . Ta có: 3839151 538552.. 551010020xxxxxx    2 3151151 5 102020x    . Do đó 120 151538A xx  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 10x hay 9 100x . Vậy giá trị lớn nhất của A là 20 151 . Ví dụ 3: Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện 2xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 38Qxy . (Đề thi vào 10 tỉnh Ninh Thuận năm 2017 – 2018)  Giải chi tiết Ta có: 22xyyx , thay vào Q ta được 2222 3(2)84412(2x1)1111Qxxxx . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2x . Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 11. Dạng 2: Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cơ bản Phương pháp giải Sử dụng bất đẳng thức cơ bản đã được nêu ở Dạng 3 – chủ đề 1. Bài tập mẫu Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 112Pxxx .  Giải chi tiết Điều kiện để P tồn tại là: 01(*)x . Với ,0ab bất kì ta có: 220(1).abababababab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0a và 0b .
Áp dụng (1) ta có: 111xxxx . Lại có 1101((*)).xxdo Do đó 112P . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0x . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2. Ví dụ 2: Biết rằng các số x, y thoả mãn điều kiện 1xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 Cxyxy . (Đề thi vào 10 tỉnh Phú Yên năm học 2017 – 2018)  Giải chi tiết Ta có: 222()1Cxyxyxyxyxy . Lại có theo bất đẳng thức Cô – si: 2 1 24 xy xy    nên 13 11 44Cxy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2xy . Ví dụ 3: Cho x, y là hai số thực dương thoả mãn 4xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 235 2Pxy xyxy  . (Đề thi vào 10 Hưng Yên năm học 2017 – 2018)  Giải chi tiết Ta có: 22 22322 2 2Pxy xyxyxyxy     . Áp dụng bất đẳng thức 114 abab  cho hai số dương 22 xy và 2xy ta có: 2222 222.48 2xyxyxyxy  . Do 4xy nên 222 2281 242xyxy  . Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương 32 xy và 2xy ta có: 3232 22.216xyxy xyxy . Lại có 22 4 4 22 xy xy    nên 221 42xy . Từ đó 11 1617 22P . Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi 2xy . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 17. Dạng 3: Phương pháp tam thức bậc hai Phương pháp giải Gán biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thành một biến y. Biến đổi tương đương đưa về phương trình dạng bậc hai ẩn x, tham số y: 20axbxc , ở đây các hệ số a, b, c có chứa y. - Xét 0a . Tìm y tương ứng - Xét 0a . Đặt điều kiện để phương trình có nghiệm x là 0 . Từ đó tìm được điều kiện của y và suy ra giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất (nếu có). Bài tập mẫu Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 43 1 x y x    .  Giải chi tiết
Vì 210x với mọi x nên biểu thức đã cho luôn xác định. Ta có 22 2 43 (1)43430(1) 1 x yyxxyxxy x    . Coi (1) là phương trình ẩn x, tham số y; y là giá trị của biểu thức, do vậy phải tồn tại x sao cho biểu thức đó đạt giá trị y. Nói cách khác, phương trình (1) phải có nghiệm x. - Xét 0y , phương trình (1) trở thành: 430x có nghiệm 3 4x . - Xét 0y , khi đó (1) là phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm khi và chỉ khi 22 02(3)034014yyyyy . - Trường hợp 1y , thay vào phương trình ta được 2x . - Trường hợp 4y , thay vào phương trình ta được 1 2x . Vậy giá trị nhỏ nhất của y là -1 đạt được khi 2x , giá trị lớn nhất của y là 4 đạt được khi 1 2x . Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 22 229 25 xxyy A xxyy    .  Giải chi tiết  Trường hợp 1: 0y , thay vào biểu thức ta có 2A .  Trường hợp 2: 0y , ta có 2 2 229 25 xx yy A xx yy          . Đặt x t y , ta được 2 2 229 25 tt A tt    . 2 222 2 229 (25)229(2)(22)590(1) 25 tt AAttttAtAtA tt    - Nếu 2A , từ (1) cho ta 1 6t . Khi đó tồn tại x, y để 2A . - Nếu 2A , coi (1) là phương trình bậc hai ẩn t, A là tham số. Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 2217 (1)(2)(59)4211701 4AAAAAA . + Thay 1A vào (1) ta được nghiệm 2t . Khi đó 2xy . Do đó, tồn tại x, y để 1A . + Thay 17 4A vào (1) ta được nghiệm 7 3t . Khi đó 37xy . Do đó, tồn tại x, y để 17 4A . Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 1 và giá trị lớn nhất của A bằng 17 4 2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a) 22(3)(1)Axx . b) 222287Bxyxyy . Câu 2: Cho hai số thực a, b khác 0 thoả mãn 2 2 2 1 24 4 b a a . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2009Sab . Câu 3: Cho các số thực x, y thoả mãn 2xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3322 Qxyxy . (Đề thi vào 10 tỉnh Kon Tum năm học 2017 – 2018) Câu 4: Cho hai số thực dương a, b thoả mãn 234ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
20022017 29965501Qab ab . (Đề thi vào 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2017 – 2018) Câu 5: Cho hai số thực dương x, y thoả mãn 1xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 223 1Pxy xy  . (Đề thi vào 10 Đắk Lắk năm học 2017 – 2018) Câu 6: Cho hai số thực dương x, y thoả mãn 21 3 x xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 15 3 yx Pxy xy . (Đề thi vào 10 chuyên Bắc Giang năm học 2017 – 2018) Câu 7: Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn 3xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222 111 111 xyz Q yzx    . (Đề thi vào 10 Hải Dương năm học 2017 – 2018) Câu 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 42 2 22 1 xx P x    . Câu 9: Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện 221xy . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 26 122 xxy A xyy    . Gợi ý giải Câu 1 a) Ta có: 22222(3)(1)241022182(1)88Axxxxxxx . Đẳng thức xảy ra khi 1x . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8. b) 22222228728169Bxyxyyxxyyyy 22 ()(4)99xyy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0 4 40 xy xy y    . Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -9. Câu 2 Ta có: 22 222 22 11 222 44 bb aaabaab aa     22 1 22 2 b aaabab a     . Mặt khác theo giả thiết 2 2 2 1 24 4 b a a nên suy ra 2ab . Do vậy 2009220092011Sab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2ab , chẳng hạn khi 1,2ab . Vậy giá trị lớn nhất của S là 2011. Câu 3 Ta có: 332232()3()()2Qxyxyxyxyxyxyxy 8642128xyxyxy . Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số thực dương ta có: 2 1 2 xy xy    .