Title Chương 5_Bài 2_ _Đề bài_Toán 12_CTST.pdf ✅

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Phương trình đường thẳng trong không gian Vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ a khác 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là vectơ chỉ phương của d . Chú ý: Nếu a là vectơ chỉ phương của d thì ka k( 0)  cũng là vectơ chỉ phương của d . Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho hình chóp O ABC . có A B (2;0;0), (0;4;0) và C(0;0;7) . a) Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB AC , . b) Vectơ v = −( 1;2;0) có là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB không? Lời giải a) Ta có AB = −( 2;4;0) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB ; AC = −( 2;0;7) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AC . b) Vì 1 ( 1;2;0) 2 v AB = − = nên v là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB . Phương trình tham số của đường thẳng Trong không gian Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M x y z 0 0 0 0 ( ; ; ) và nhận a a a a = ( 1 2 3 ; ; ) làm vectơ chỉ phương có dạng: 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t z z a t   = + = + =    + với t  ( t được gọi là tham số ) Ví dụ 2. Cho đường thẳng d có phương trình tham số 2 6 11 2 ( ) 4 x t y t t z t  = − +   = +    = . a) Tìm hai vectơ chỉ phương của d . b) Tìm các điểm trên d ứng với t lần lượt bằng 0;2; 3− . Lời giải a) Từ phương trình tham số, ta có a = (6;2;4) là một vectơ chỉ phương của d .
Chọn 1 (3;1;2) 2 b a = = , ta có b cũng là một vectơ chỉ phương của d . b) Thay t = 0 vào phương trình tham số của d , ta được: 2 6.0 2 11 2.0 hay 11 4.0 0 x x y y z z  = − + = −      = + =    = =  Vậy A( 2;11;0) − . Tương tự, với t = 2 thì B(10;15;8) , với t =−3 thì C( 20;5; 12) − − . Chú ý: a) Trong phương trình tham số của đường thẳng 0 1 0 2 0 3 : x x a t d y y a t z z a t  = +   = +   = + , mỗi giá trị của tham số t xác định duy nhất một điểm M trên d và ngược lại. b) Từ nay để cho gọn, trong phương trình tham số của đường thẳng, ta không viết t  . Ví dụ 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm 0 M (1;2;3) và nhận a = − (4;5; 7) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng d có đi qua điểm A(1;1;5) không? Lời giải Ta có phương trình tham số của d là: 1 4 2 5 3 7 x t y t z t  = +   = +   = − Thay x =1 vào phương trình x t = +1 4 , ta được 114 = + t , suy ra t = 0. Thay y =1 và t = 0 vào phương trình y t = +2 5 , ta thấy phương trình không thoả mãn. Suy ra đường thẳng d không đi qua điểm A . Phương trình chính tắc của đường thẳng Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua ( ) 0 0 0 M x y z ; ; và có vectơ chỉ phương ( ) 1 2 3 a a a a = ; ; . Nếu 1 2 3 a a a , , đều khác 0 thì hệ phương trình 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d . Ví dụ 4. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm 0 M (1;2;3) và nhận a = − (4;5; 7) làm vectơ chỉ phương. Lời giải
Đường thẳng d có phương trình chính tắc là: 1 2 3 4 5 7 x y z − − − = = − . Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm Trong không gian Oxyz , đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt ( ; ; ) A x y z A A A , ( ; ; ) B x y z B B B có vectơ chí phương là ( ; ; ) AB x x y y z z = − − − B A B A B A và có phương trình tham số: ( ) ( ) ( ) A B A A B A A B A x x x x t y y y y t z z z z t  = + −   = + −  = + −  Nếu , , x x y y z z A B A B A B    thì d có phương trình chính tắc: A A A B A B A B A x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − Ví dụ 5. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB , biết A(1;1;5) và B(3;5;8). Lời giải Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là AB = (2;4;3) nên có phương trình tham số: 1 2 1 4 5 3 x t y t z t  = +   = +  = +  và phương trình chính tắc: 1 1 5 2 4 3 x y z − − − = = 2. Vị trí tươnng đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau Gọi ( ) 1 2 3 a a a a = ; ; và ( ) 1 2 3 a a a a     = ; ; lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d . Gọi ( ) 0 0 0 M x y z ; ; là một điểm trên d . Ta có: , // ; a ka k d d M d  =          a ka k, d d M d  =          Ví dụ 6. Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau: a) 1 : 2 1 2 x t d y t z t  = +   = +  = +  và 2 2 : 5 2 1 4 x t d y t z t  = +      = +  = +  
b) 1 2 1 : 112 x y z d − − − = = và 2 3 3 : 3 3 6 x y z d − − −  = = . Lời giải a) Đường thẳng d đi qua điểm M (1;2;1) và có vectơ chỉ phương a = (1;1;2) . Đường thẳng d có vectơ chỉ phương a a  = = (2;2;4) 2 . Thay toạ độ điểm M vào phương trình của d , ta được: 1 2 1 2 2 3 2 5 2 2 114 0 t t t t t t   = −   = +       = +  = −     = +     =   (vô nghiệm). Suy ra M không thuộc d . Vậy d d//  . b) Đường thẳng d đi qua điểm M (1;2;1) và có vectơ chỉ phương a = (1;1;2) . Đường thẳng d có vectơ chỉ phương a a  = = (3;3;6) 3 . Thay toạ độ điểm M vào phương trình của d , ta được: 1 2 2 3 1 3 3 3 6 − − − = = Phương trình nghiệm đúng, suy ra M thuộc d . Vậy d d  . Chú ý: Cho đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương a , đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương a  . a) Nếu ba vectơ a a MM , ,   cùng phương thì d d  . b) Nếu hai vectơ a a,  cùng phương và hai vectơ a MM ,  không cùng phương thì d d// . Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau Trong trường hợp tổng quát, ta có: Cho hai đường thẳng d và d có phương trình tham số lần lượt là: 0 1 0 2 0 3 : x x a t d y y a t z z a t  = +   = +  = +  và 1 2 3 : . o o o x x a t d y y a t z z a t  = +         = +  = +    Gọi ( ) 1 2 3 a a a a = ; ; và ( ) 1 2 3 a a a a     = ; ; lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d .