Title GỘP CHƯƠNG II_Đề bài không dòng chấm.docx ✅

CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI 5: DÃY SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ a) Nhận biết dãy vô hạn - Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương *ℕ được gọi là một dãy số vố hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là ()uun . - Ta thường viết nu thay cho ()un và kí hiệu dãy số ()uun bởi nu , do đó dãy số nu được viết dưới dạng khai triển 123,,,,, nuuuu Số 1u gọi là số hạng đầu, nu là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Chú ý. Nếu *,ℕnnuc thì nu được gọi là dãy số không đổi. a) Nhận biết dãy hữu hạn - Mỗi hàm số u xác định trên tập {1;2;3;,}Mm với *ℕm được gọi là một dãy số hữu hạn. - Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là 12,,, muuu . Số 1u gọi là số hạng đẩu, số mu gọi là số hạng cuối. 2. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ Một dãy số có thể cho bằng: - Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng); - Công thức của số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi. 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN a) Nhận biết dãy số tăng giảm - Dãy số nu được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1 nnuu với mọi *ℕn . - Dãy số nu được gọi là dãy số giảm nếu ta có 1 nnuu với mọi *ℕn . b) Nhận biết dãy số bị chặn - Dãy số nu được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho  nuM với mọi *ℕn . - Dãy số nu được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho  num với mọi *ℕn . - Dãy số nu được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số ,mM sao cho  nmuM với mọi *ℕn . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số 1. Phương pháp Một dãy số có thể cho bằng:
- Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng); - Công thức của số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho dãy số ( nu ) xác định bởi (1) 21 n n n u n    . Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số.. Ví dụ 2. Cho dãy số nu, từ đó dự đoán nu a) 1n n1n u5 u: uu3       ; b) 1n n1n u3 u: u4u       Ví dụ 3. Cho dãy số nu, từ đó dự đoán nu a) 1n n1n u1 u: u2u3       ; b) 1n 2 n1n u3 u: u1u       Dạng 2. Tính tăng giảm của dãy số 1. Phương pháp  (u n ) là dãy số tăng  u n+1 > u n ,  n  N*.  u n+1 – u n > 0 ,  n  N*  1 1n n u u   ,n  N* ( u n > 0).  (u n ) là dãy số giảm  u n+1 < u n với n  N*.  u n+1 – u n < 0 ,  n  N*  1 1n n u u   , n  N* (u n > 0). 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: a) 23 nun b) 2nn n u Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: a) 21n n u n  b) 1 n nn u n   Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: a) 1 2 nu n b) 1 1n n u n    Ví dụ 4. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) 21 52n n u n    b) 2 25 nun Ví dụ 5. Xét tính đơn điệu của dãy số sau:
a) 2 2 21 1n n u n    b) 1 nunn Ví dụ 6. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) 2 321 1n nn u n    b) 11 n n u n   Ví dụ 7. Xét tính tăng - giảm của dãy số nu với 1 3 2 n nnu  . Ví dụ 8. Xét tính tăng - giảm của dãy số nu với 2nn n u . Ví dụ 9. Xét tính tăng - giảm của dãy số nu với 2 3n nu n . Ví dụ 10. Xét tính tăng - giảm của dãy số nu với 1nunn . Ví dụ 11. Với giá trị nào của a thì dãy số nu , với 2 1n na u n    a) là dãy số tăng. b) là dãy số giảm Dạng 3. Dãy số bị chặn 1. Phương pháp  (u n ) là dãy số bị chăn trên M  R: u n  M, n  N*.  (u n ) là dãy số bị chặn dưới  m  R: u n  m, n  N*.  (u n ) là dãy số bị chặn  m, M  R: m  u n  M, n  N*. Chú ý: +) Trong các điều kiện về bị chặn ở trên thì không nhất thiết phải xuất hiện dấu ‘’ +) Nếu một dãy số tăng thì luôn bị chặn dưới bởi 1u ; còn dãy số giảm thì bị chặn trên bởi 1u . 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) 2 2 1 23n n u n    b) 75 57n n u n    Ví dụ 2. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) 2 1 23nu n  b)  1 1nu nn  Ví dụ 3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) 2 1 21nu n  b) 2 1 1n n u n    Ví dụ 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) 2 2 2 . 1n n u n  b) 2 2 12 . 4 2 n n un nn    
Ví dụ 5. Cho dãy số ,nu với 1 3(1) 4(1) n nn n u n    a) Tính 6 số hạng dầu tiên của dãy, nêu nhận xét về tính đơn điệu của dãy số. b) Tính 2nu và 21nu . Chứng minh rằng 34 0 41n n u n    . Ví dụ 6. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số ( nu ) cho bởi: a) 23 2n n u n    b) 1 (1)nu nn  Ví dụ 7. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số nu cho bởi: a) 2 2 2 1n nn u nn    b) 22n n u nnn   Ví dụ 8. Chứng minh rằng dãy số 3 1n n u n    giảm và bị chặn. Ví dụ 9. Chứng minh rằng dãy số 1111 1.22.33.4(1)nu nn  tăng và bị chặn trên. Ví dụ 10. Chứng minh rằng dãy số 2 2 1 23n n u n    là một dãy số bị chặn. Ví dụ 11. Chứng minh rằng dãy số 1 1 0 1 4 2nn u uu       a) Chúng minh rằng 8nu . a) Giả sử tồn tại 18248nnnuuu Ví dụ 12. Chứng minh rằng dãy số 1 1 1 2 1 n n n u u u u        a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số b) Chứng minh rằng dãy số bị chặn dưới bởi 1 và bị chặn trên bởi 3 2 Ví dụ 13. Chứng minh rằng dãy số 1 1 2 2nn u uu      tăng và bị chăn trên bởi 2. C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 2.1. Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số nu có số hạng tồng quát cho bởi: a) 32nun ; b) 32n nu ; c) 1 1 n nu n     .