Title fiche 2 ensembles 1bac sm ✅

Lycée Latex Templates Pro 1BAC Sciences Mathématiques 2 Chapitre 1 : Les Ensembles Prof : M.MOUHCINE Lycée : Latex Templates Pro Durée : 6 Heures Classe : 1BAC Sciences Mathématiques 2 Les Orientations Pédagogiques Ce chapitre revêt une importance capitale, ce n’est pas uniquement une occasion d’in- vestir la logique et les raisonnements, mais aussi le fait qu’il a des extensions dans l’étude des structures ; On introduira l’ensemble R2 comme exemple du produit cartésien de deux ensembles. Les Compétences Déterminer un ensemble par compréhension ou par extension ; Maitriser la relation entre les règles de la logique et les opérations sur les ensembles. Rôle de l’enseignant / l’apprenant Rôle de l’enseignant Marquer les difficultés Diagonaliser les pré requis des ap- prenants Noter les observations Rôle de l’apprenant Répondre aux questions de l’ac- tivité avec la justification de ses solutions. Répondre aux exercices Les outils Didactiques Tableau, Livre ,craie(Marqueur),Pc, Projecteur Les Axes de Cours I Généralités sur les Ensembles 2 1 Notion d’ensemble-Élément d’un ensemble . . . 2 2 Définition d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Égalité de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . 3 II Parties d’un ensemble-Inclusion-Complémentaire 4 1 Inclusion des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . 5 3 Complémentaire d’un ensemble . . . . . . . . . . 5 III Les Opérations dans l’ensemble des parties d’un en- semble P(E) 6 1 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Distributivité et lois de De Morgan . . . . . . . 7 4 Différence de deux ensembles . . . . . . . . . . . 8 IV Le Produit Cartésienne 9 Prof M.MOUHCINE 1 2022-2023
Lycée Latex Templates Pro 1BAC Sciences Mathématiques 2 Objectifs Activités/Contenu de Cours Durée Observations/Évaluations I Généralités sur les Ensembles Notion d’ensemble-Élément d’un ensemble 1 Activité 1 Observer les nombres suivants : 1. Entourer tous les diviseurs de 2. 2. Soit A l’ensemble de ces nombres. Déterminer les éléments de A. 3. Déterminer un élément qui appartient à l’ensemble A et un autre qui n’appartient pas à A. 4. Exprimer(Écrire) l’ensemble A de deux manières 2 5 10 6 15 3 4 14 11 0 20 A P_Définition Un ensemble A est une collection d’objets satisfaisant un certain nombre de propriétés et chacun de ces objets est appelé élément de cet ensemble. Si x est un élément de l’ensemble A, on dit que x appartient à A et on note x ∈ E. Si x n’appartient pas à A, on note x ∈/ E. Notation-Vocabulaire • Il y a des notations réservées à certains ensembles ; par exemple,N est l’ensemble des entiers naturels ; Z, D, Q et R , R ∗ , R +, R ∗ + • Dans le cas général, on note un ensemble par une des lettres : A, B, C, E, F, X, Y , . . . • Un ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l’ensemble vide. Il est noté ∅, ou aussi {} mais ne se note pas {∅}. • Un ensemble qui contient un et un seul élément s’appelle un singleton. • Un ensemble qui contient deux éléments distincts s’appelle une paire. Exemple • L’ensemble A dont les éléments sont 1, 2, 3 et 4 est noté E = {1; 2; 3; 4}. Un diagramme de Venn est une courbe fermée qui entoure certains éléments d’un ensemble ; il sert à schématiser cet ensemble. 1 2 3 4 E Prof M.MOUHCINE 2 2022-2023
Lycée Latex Templates Pro 1BAC Sciences Mathématiques 2 Objectifs Activités/Contenu de Cours Durée Observations/Évaluations 2 Définition d’un ensemble Il y a deux manières de définir un ensemble A : • En extension : On énumère tous les éléments de A, c’est-à-dire en donnant la liste de ses éléments, s’il possède un nombre fini d’éléments (pas trop grand). Dans ce cas, l’ordre dans lequel on donne les éléments n’a aucune importance. • En compréhension : On décrit l’ensemble A en donnant une propriété qui caractérise ses éléments. Si P(x) est la propriété qui caractérise les éléments de A, alors on écrit : E = {x/P(x)}. Exemple • Soit D24 l’ensemble des diviseurs positifs du nombre 24 . ◦ Écriture en extension : D24 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}. ◦ Écriture en compréhension : D24 = {n ∈ N/n divise 24}. • Soit A et B deux points distincts du plan P et D la médiatrice du segment [AB]. On sait que la médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants aux extrémités de ce segment ; on peut donc écrire l’ensemble Φ en compréhension comme suit : D = {M ∈ P/AM = BM} Égalité de deux ensembles 3 P_Définition Soit A et B deux ensembles. On dit que A et B sont égaux lorsqu’ils ont les mêmes éléments et on écrit E = F. Méthode Pratiquement, pour montrer l’égalité E = F, il suffit de montrer que tout élément de A est un élément de B et que tout élément de B est un élément de A ; ce qui se traduit par l’équivalence : x ∈ E ⇔ x ∈ F. Exemple 1. On considère les deux ensembles : A = {x ∈ R/|x| < 1} et B =] − 1; 1[.0na : A = B. 2. On considère les deux ensembles suivants : A = n π 8 + kπ 2 /k ∈ Z o et B = n − 7π 8 + kπ 2 /k ∈ Z o Montrons que A = B : Application 1. Écrire en extension les en- sembles suivants : A = x ∈ Z/ − 5 2 ≤ x ≤ 3 2 C = x ∈ N/x 2 ≤ 51 et √ x − 1 ∈ N F = {n ∈ N/|3n − 14| ≤ 10} 2. Écrire en compréhension les ensembles suivants : G = {3; 6; 9; 12; 15} K = 1; − 1 2 ; 1 4 ; − 1 8 ; 1 16 ; . . . L = . . . ; 1 9 ; 1 3 ; 1; 3; 9; . . . Application On considère les deux en- sembles : A =] − ∞; −1 [ et B = x ∈ R/ x x+1 > 1 . Montrer que A = B. Prof M.MOUHCINE 3 2022-2023