Title Đề số 35.docx ✅

Đề số 35 Bài 1 ( 4,0 điểm ) 1) Rút gọn biểu thức: 233 2 11.(1)(1) 21 xxx A x    với 11x . 2) Tính giá trị biểu thức: 53 42 4179 3211 xxx P xxx    với x thỏa mãn: 2 1 14 x xx  . Bài 2 ( 4,0 điểm) 1) Giải phương trình: 222 1111 920113013428xxxxxx  . 2) Giải phương trình: 232331xxx . Bài 3 ( 4,0 điểm) 1) Cho x , y là các số nguyên 1;1xy sao cho 44 11 11 xy yx    là số nguyên. Chứng minh 441xy chia hết cho 1y . 2) Tìm số nguyên tố x , y , z thỏa mãn: 21yxz . Bài 4 ( 6,0 điểm). Cho ABC nhọn, các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . Trên HB , HC lấy M , N sao cho AMCM ; ANBN . a) Chứng minh rằng: AMAN . b) Gọi G là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC . Chứng minh: ..BGCDCGBD . c) Chứng minh đường thẳng đi qua điểm A vuông góc với EF , đường thẳng đi qua điểm B vuông góc với DF và đường thẳng đi qua điểm C vuông góc với DE đồng quy tại một điểm. Bài 5 ( 2,0 điểm). Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn: 222 111 1 abc . Chứng minh rằng: 222222 1113 3522522522aabbbbccccaa  .  HẾT  ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG
Bài 1 ( 4,0 điểm ) 1) Rút gọn biểu thức: 233 2 11.(1)(1) 21 xxx A x    với 11x . 2) Tính giá trị biểu thức: 53 42 4179 3211 xxx P xxx    với x thỏa mãn: 2 1 14 x xx  . LỜI GIẢI 1) Ta có:     2332 22 22 2 2 2 2222 2 11.(1)(1)11.111111 2121 11.1121 11.11 21 111111221121111 22 xxxxxxxxxx A xx xxxx xxx x xxxxxxxx xx         2) Ta có: 22 2 1 4131 14 x xxxxx xx  Khi đó: 322.31.333183xxxxxxxxxx 432.83.838313218xxxxxxxxxx 542.218.218213185521xxxxxxxxxx Suy ra:   53 42 5521483179417963 32112183312113216 xxxxxxx P xxxxxxx    . Vậy với 3 0. 16xP Bài 2 ( 4,0 điểm) 1) Giải phương trình: 222 1111 920113013428xxxxxx  . 2) Giải phương trình: 232331xxx . LỜI GIẢI 1) Điều kiện xác đinh: 4x ; 5x ; 6x ; 7x
   222 2 2 1111 1892011301342 1111 45566718 1111111 45566718 111 4718 187447 541128 112601320 202 () 13013 ( tháa m·n xxxxxx xxxxxx xxxxxx xx xxxx xx xxxx xx xx                )tháa m·n    Vậy tập nghiệm của phương trình là 13;2S 2) Điều kiện xác định: 1x 23222331121311xxxxxxxxx Đặt: 23 1 .2 10 axx bx       Khi đó phương trình trở thành: 2223020 2 ab baababab ab      +) TH1: Nếu ab , ta có: 2220 () 11112020 2 () tháa m·n tháa m·n x xxxxxxxxxx x      +) TH2: Nếu 2ab , ta có: 2 222523 2114441453040 816xxxxxxxxx    (vô nghiệm, vì 2 523 40, 816xx    ) Vậy tập nghiệm của phương trình là: 0;2S Bài 3 ( 4,0 điểm) 1) Cho x , y là các số nguyên 1;1xy sao cho 44 11 11 xy yx    là số nguyên. Chứng minh 441xy chia hết cho 1y . 2) Tìm số nguyên tố x , y , z thỏa mãn: 21yxz . LỜI GIẢI
1) Đặt 4 1 1 xa yb     ; 4 1 1 ym xn     ; ,,1abmn và ,0bn . Theo đề bài, ta có: anbmbanbnbamanbm bn anbmnbmnbnbnbn     ⋮⋮⋮ ℤ ⋮⋮⋮ Mặt khác: 411xy⋮ ; 411yx⋮ (với x , y là số nguyên) .am bnℤ nên amnan⋮⋮ hay ab⋮ .  4 44444 11 11111 xy yxyyxyy   ⋮ ⋮⋮ Vậy 4411xyy⋮ 2) Ta có: 22 1yxzz và yx khác tính chẵn, lẻ x ; z khác tính chẵn, lẻ. Mà x ; z là các số nguyên tố nên ta xét các trường hợp sau: +) TH1: 2x , 2z ta có: 22212111yyzzzz1z và 1z là lũy thừa của 2 Đặt *12 , , , 12 u v z uvvuuvy z     ℕ . Khi đó: 2212222212 1211 u vuuvu vu u v       (vì 21vu là số lẻ) Suy ra 3z và 3 tháa m·ny +) TH 2: 2z , 2x , ta có: 143yyxx Do x là số lẻ nên suy ra 3x , 1y (loại) Vậy ,,2;3;3xyz Bài 4 ( 6,0 điểm). Cho ABC nhọn, các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . Trên HB , HC lấy M , N sao cho AMCM ; ANBN . a) Chứng minh rằng: AMAN . b) Gọi G là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC . Chứng minh: ..BGCDCGBD . c) Chứng minh đường thẳng đi qua điểm A vuông góc với EF , đường thẳng đi qua điểm B vuông góc với DF và đường thẳng đi qua điểm C vuông góc với DE đồng quy tại một điểm. LỜI GIẢI a) Chứng minh rằng: AMAN .