Title Chương 6_Bài 2_ _Đề bài_Toán 12_CTST.pdf ✅

BÀI 2: CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ❶. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN Hoạt động khám phá 1: Chị An trả lời hai câu hỏi. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,9 nếu chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất và là 0,5 nếu chị An không trả lời đúng câu hỏi thứ nhất. Gọi A là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất” và B là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai”. Hãy tìm các giá trị thích hợp điền vào các ô ? ở sơ đồ hình cây sau: Lời giải A là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất" và B là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai". Ta có P A 0,7;P B A 0,9; 0,5 ( ) === ( ∣ ∣ ) P B A ( ) . Suy ra P P A P B A P B A ( A) = − = = − = 1 0,3; 1 0,1 ( ) ( ∣ ∣ ) ( ) ; P B A P B A ( ∣ ∣ ) = − = 1 0,5 ( ) Ta có sơ đồ hình cây Định Nghĩa: Cho hai biến cố A và B với 0 1   P B( ) . Khi đó: P A P B P A B P B ( ) = + ( ) ( ∣ ∣ ) (B) P A( ) gọi là công thúc xác suất toàn phần. ❷. CÔNG THỨC BAYES Hoạt động khám phá 2: Khảo sát thị lực của 100 học sinh, ta thu được bảng số liệu sau:
Chọn ngẫu nhiên 1 bạn trong 100 học sinh trên. a) Biết rằng bạn đó có tật khúc xạ, tính xác suất bạn đó là học sinh nam. b) Biết rằng bạn đó là học sinh nam, tính xác suất bạn đó có tật khúc xạ. Lời giải Gọi A là biến cố “Học sinh đó có tật khúc xạ” và B là biến cố “Học sinh đó là học sinh nam”. a) Ta có ( ) 18 3 12 18 5 = = + P B A∣ . b) Ta có ( ) 18 9 18 32 25 = = + P A B∣ . Định Nghĩa: Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu nhiên thoả mãn P A( )  0 và 0 1   P B( ) . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + P B P AB P BA P B P AB P B P AB gọi là: công thức Bayes. Chú ý: Với P A( )  0 , công thức ( ) ( ) ( ) ( ) = P B P A B P B A P A ∣ ∣ cũng được gọi là công thức Bayes. Ví dụ 2: Một nhà máy có hai phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm. Ti lệ sản phẩm bị lỗi của phần xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1% . a) Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy và tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi. b) Biết rằng sản phẩm được chọn bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn? Lời giải a) Gọi A là biến cố "Sản phẩm bị lỗi" và B là biến cố "Sản phẩm lấy ra do phân xưởng I sản xuất". Do phân xưởng I sản xuất 40 % số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm nên P B P ( ) = = − = 0,4 và 1 0,4 0,6. (B) Do ti lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1% nên P A B P A B ( ∣ ∣ ) = = 0,02 và 0,01 ( ) Xác suất để sản phẩm lấy ra bị lỗi là P A P B P A B P ( ) = + = + = ( ) ( ∣ ∣ ) (B) P A B ( ) 0,4.0,02 0,6.0,01 0,014 b) Nếu sản phẩm lấy ra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là ( ) ( ) ( ) ( ) 0,4 0,02 4 0,014 7  = = = P B P A B P B A P A ∣ ∣
Nếu sản phẩm lấy ra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất là ( ) ( ) 3 1 7 P B A P B A ∣ ∣ = − = Vậy nếu sản phẩm lấy ra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất cao hơn xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất. Ví dụ 3: Trong mỡ đầu, một người làm xét nghiệm và nhận được kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự nhiễm virus (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn). Lời giải Sử dụng kí hiệu các biến cố như ở Ví dụ 1. Xác suất một người thực sự nhiễm virus khi người đó có kết quả xét nghiệm dương tính là P B A ( ∣ ). B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1: Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lắy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp thứ hai. a) Tính xác suất để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ. b) Biết rằng 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ. Bài 2: Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 52% . Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật lần lượt là 18% và 15% . Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. a) Tính xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. b) Biết rằng học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. Tính xác suất học sinh đó là nam. Bài 3: Tỉ lệ người dân đã tiêm vắc xin phòng bệnh A ở một địa phương là 65% . Trong số những người đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là 5% ; trong số những người chưa tiêm phòng tỉ lệ mắc bệnh A là 17% . Chọn ngẫu nhiên một người ở địa phương đó. a) Tính xác suất người được chọn mắc bệnh A . b) Biết rằng người được chọn mắc bệnh A . Tính xác suất người đó chưa tiêm vắc xin phòng bệnh A . Bài 4: Ở một khu rừng nọ có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú luôn nói thật, 3 chú còn lại nói thật với xác suất 0,5 . Bạn Tuyết gặp ngẫu nhiên một chú lùn và hỏi xem chú ý ấy có phải là người nói thật không. Gọi A là biến cố "Chú lùn đó luôn nói thật" và B là biến cố "Chú lùn đó nhận mình là người luôn nói thật". a) Tính xác suất của các biến cố A và B . b) Biết rằng chú lùn mà bạn Tuyết gặp tự nhận mình là người luôn nói thật. Tính xác suất để chú lùn đó luôn nói thật. C. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Các bài toán liên quan đến công thức xác suất toàn phần. 1. Phương pháp Công thức xác suất toàn phần: Cho hai biến cố A và B với 0 1   P B( ) . Khi đó: P A P B P A B P B P A B ( ) = + ( ) ( | | ) ( ) ( ) ▪Chú ý: Công thức xác suất toàn phần cũng đúng với biến cố B bất kì. 2. Ví dụ Ví dụ 1: Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh nam nữ tại một trường phổ thông H. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong nhóm đó.
gọi A là biến cố “học sinh được chọn biết chơi ít nhất một nhạc cụ”, và B là biến cố “học sinh được chọn là nam”. Biết xác xuất học sinh được chọn là nam bằng 0,6; xác suất học sinh được chọn là nam và biết chơi ít nhất một nhạc cụ là 0,3; xác suất học sinh được chọn là nữ và biết chơi ít nhất một nhạc cụ là 0,15. Tính P A( ). Ví dụ 2: Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 53%. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia Câu lạc bộ nghệ thuật X lần lượt là 21% và 17%. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Tính xác suất học sinh đó có tham gia Câu lạc bộ nghệ thuật X. Ví dụ 3: Ông An hàng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4 . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7 . Xét một tuần mà thứ Hai ông An đi làm bằng xe buýt. Tính xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe máy. Ví dụ 4: Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh tại trường X. Nhóm này có 60% là học sinh nam. Khảo sát cho thấy có 20% học sinh nam và 15% học sinh nữ biết chơi ít nhất một nhạc cụ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm này. Tính xác suất để chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ. Ví dụ 5: Theo thống kê, năm 2004 ở Canada có 65% nam giới thừa cân và 53,4% nữ giới thừa cân. Nam giới và nữ giới ở Canada đều chiếm 50% dân số cả năm (Nguồn: F.M Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi rằng, năm 2004, xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng bao nhiêu? Ví dụ 6: Một phân xưởng có 2 máy tự động: máy I sản xuất 45% , máy II sản xuất 55% số sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các nhà máy lần lượt là 0,1% và 0,2% . Chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm của phân xưởng, tính xác suất sản phẩm được chọn là phế phẩm. Dạng 2. Các bài toán liên quan đến công thức Bayes. 1. Phương pháp Công thức Bayes: Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu nhiên thoả mãn P A( )  0 và 0 1   P B( ) . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + | | | | P B P A B P B A P B P A B P B P A B Chú ý: Với P A( )  0, ( ) ( ) ( ) ( ) = | | P B P A B P B A P A cũng được gọi là công thức Bayes. 2. Ví dụ Ví dụ 1: Một nhà máy có hai loại phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1% . a) Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy và tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi. b) Biết rằng sản phẩm được chọn bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?