Title Chủ đề 12 Dãy số,giới hạn.docx ✅

Trang 1 Dãy số, giới hạn Câu 1. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình)Cho dãy số nu xác định bởi  1 22 1 2851 ,1nn u uunn      . Số hạng thứ 2020 của dãy số nu là: A. 1427 . B. 1429 . C. 2019 . D. 1428 . Lời giải Chọn B Ta có: 22222211113131nnnnnnuunununnvvn với 22,1nnvunn (1). Xét dãy số nv xác định bởi 2211 1 12852 31,1nn vu vvnn      (2). Ta có: 214vv ; 327vv ;.; 131,1nnvvnn . Suy ra:  1111 431 47...31,1,1 2nn nn vvnnvvn  2 11 35 ,1 2n nn vvn  (3). Từ (1), (2), (3) ta suy ra: 22222 1111 352 11,1 22nn nnnn uvnvnvn  . Suy ra: 22 20202020 201920192 285220420411429 2uu  ( do 0,1nun ). Câu 2. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình)Cho cấp số nhân nu biết 42 53 54 108 uu uu     . Tìm số hạng đầu 1u và công bội q của cấp số nhân trên. A. 19u ; 2q . B. 19u ; 2q . C. 19u ; 2q . D. 19u ; 2q . Lời giải Chọn C Ta có:  33 114211 342 531111 33 11111 ..5454..54 108..108..108 9..54.2.254 2.541082 uququuuquq uuququququq uuququu qqq           . Vậy 19u , 2q . 12 Chuyên đề
Trang 2 Câu 3. (Tổ-25-Lan-2-HSG-Yên-Dũng)Cho dãy số được xác định bởi: . Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là biểu thức có dạng với là các số nguyên, . Khi đó tổng có giá trị bằng? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Từ công thức truy hồi 112;231nnuuun ta suy ra: 2 3 4 9 26 63 u u u       . Mà .2,2n nuabncn nên ta có hệ phương trình: 4295 83263 164635 abca abcb abcc       . Do đó 3abc . Câu 4. (HSG11 THuận Thành)Cho các số 5;52;8xyxyxy theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số 22(1);1;2yxyx theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm ,xy . Lời giải + 5;52;8xyxyxy theo thứ tự lập thành CSC nên ta có: 5825221xyxyxyxy + 221;1;2yxyx theo thứ tự lập thành CSN nên ta có: 2221212yxxy +Thay (1) vào (2) ta được: 2222424212221421441yyyyyyy 2 3 3 32 43 3 2 yx y yx       . : Câu 5. (HSG12 THPT Thuận Thành năm) Cho các số 5;52;8xyxyxy theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số 22(1);1;2yxyx theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm ,xy . Lời giải 5;52;8xyxyxy theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:
Trang 3 5825221xyxyxyxy 221;1;2yxyx theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có: 2221212yxxy Thay (1) vào (2) ta được: 2222424212221421441yyyyyyy 2 3 3 32 43 3 2 yx y yx       . Vậy 33;3;,;3; 22xyxy    . Câu 6. (HSG12 tỉnh Ninh Bình năm)Xét sự hội tụ của dãy số nx biết 02x , 12 23 ,n nn xn xxℕ . Lời giải Cách 1: +) Ta thấy 0,nxnℕ . 02x ; 1 233 11,433 244x ; 22 23 2,239 3 3 1 1 4 4 x     . +) Xét 223fx xx trên 0; có 232230,0;fxx xx nên yfx nghịch biến trên 0; . +) Xét dãy số 2nx là một dãy con của dãy số nx . Dãy số 2nx là một dãy số tăng. Thật vậy: -) 02xx . -) Giả sử 222,kkxxkℕ . Vì yfx nghịch biến trên 0; nên 21222212221212kkkkkkkkxfxfxxxfxfxx . Vậy 222kkxx . Theo nguyên lí quy nạp, 2,nxnℕ là một dãy số tăng và ngoài ra 22,.nxnℕ
Trang 4 +) Giả sử 2limlimnnxaxa và 2a . Do 12 23 ,n nn xn xxℕ nên 122 2323 limlimn nn xa xxaa     233103aaaa (mâu thuẫn với 2a ). Vậy giả sử sai. Dãy số nx là dãy số phân kì. Cách 2: +) Ta thấy 0,nxnℕ . 02x ; 1 233 11,433 244x ; 22 23 2,239 3 3 1 1 4 4 x     . +) Ta chứng minh 22,,1nxnℕ Thật vậy: Với 0n thì 023x nên 1 đúng với 0n . Giả sử 1 đúng ,nkkℕ tức là 22kx ta chứng minh 1 cũng đúng với 1nk . Ta có: 221222 23323 2012 2443 3 1 1 4 4 kkkxxx     . Theo nguyên lí quy nạp ta có 22,nxnℕ . +) Xét dãy số 2nx là một dãy con của dãy số nx . Giả sử 2limlimnnxaxa và 2a . Do 12 23 ,n nn xn xxℕ nên 122 2323 limlimn nn xa xxaa     233103aaaa (mâu thuẫn với 2a ). Vậy giả sử sai. Dãy số nx là dãy số phân kì. Câu 7. (HSG12 tỉnh Bình Thuận năm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số nu biết 12u và 125,n nuu *.nℕ Lời giải * ,nℕ ta có 1125525nnnnuuuu . Đặt *5,. nnwunℕ