Title GT12. Chuong 1. Bai 1-1 Xet tinh don dieu cua ham so.pdf ✅

TOÁN 12 – CHƯƠNG 1 ThS. Trần Thanh Yên Trang 1 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT 1. Tính đơn điệu của hàm số Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn. Hàm số y f x = ( ) đồng biến (tăng) trên K nếu      x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ). Hàm số y f x = ( ) nghịch biến (giảm) trên K nếu      x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ). Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến Nếu hàm số y f x = ( ) đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải. Nếu hàm số y f x = ( ) nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K . Tính đơn điệu của hàm số Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm trên khoảng K . Nếu f x x K ( )    0, thì hàm số đồng biến trên khoảng K . Nếu f x x K ( )    0, thì hàm số nghịch biến trên khoảng K . Chú ý: Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “Hàm số y f x = ( ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y f x = ( ) liên tục trên đoạn a b;  và có đạo hàm f x x a b ( )    0, ; ( ) thì hàm số đồng biến trên đoạn a b; . Chú ý: Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm trên khoảng K .
TOÁN 12 – CHƯƠNG 1 ThS. Trần Thanh Yên Trang 2 a) Nếu f x x K ( )    0, và f x ( ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K . b) Nếu f x x K ( )    0, và f x ( ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K . c) Nếu f x x K ( ) =   0, thì hàm số không đổi trên K . Nhận xét: Nếu hàm số đồng biến trên K thì f x x K ( )    0, . Nếu hàm số nghịch biến trên K thì f x x K ( )    0, . BẢNG ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 1. c  = 0 2. x  =1 3. ( ) 1 . n n x n x  − = 4. ( ) 1 . . n n u nu u  − =  5. ( ) 1 2 x x  = 6. ( ) 2 u u u   = 7. 2 1 1 x x      = −   8. 2 1 u u u       = −   9. (k x k . )  = 10. (k u k u . . )  =  11. (sin cos x x )  = 12. (sin .cos u u u )  =  13. (cos sin x x )  = − 14. (cos .sin u u u )  = −  15. ( ) 2 1 tan cos x x  = 16. ( ) 2 tan cos u u u   = 17. ( ) 2 1 cot sin x x  = − 18. ( ) 2 cot sin u u u   = − 19. ( ) x x e e  = 20. ( ) . u u e u e  =  21. ( ) .ln x x a a a  = 22. ( ) . .ln u u a u a a  =  23. ( ) 1 ln x x  = 24. (ln ) u u u   = 25. ( ) 1 log .ln a x x a  = 26. (log ) .ln a u u u a   =
TOÁN 12 – CHƯƠNG 1 ThS. Trần Thanh Yên Trang 3 ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG 1. (u v u v )   =   2. (u v u v u v . . . )  = +   3. (u v w u v w u v w u v w . . . . . . . . )  = + +    4. 2 u u v u v . . v v      −   =   5. ( ) 2 ax b ad bc cx d cx d    + −   =   + + 6. ( ) 2 2 2 ax bx c ad x ae x be dc . 2 . dx e dx e    + + + + −   =   + + 7. ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a x b x c a b a b x a c a c x b c b c 2 a x b x c a x b x c    + + − + − + −   =   + + + + Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng K , ta hiểu xét tính đơn điệu của hàm số đó trên tập xác định của nó. CÁC BƯỚC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Để xét tính đơn điệu của hàm số y f x = ( ) , ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Bước 2. Tính đạo hàm y f x   = ( ) của hàm số. Tìm các điểm x D mà tại đó đạo hàm f x ( ) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại. Bước 3. Xét dấu f x ( ) và lập bảng biến thiên. Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Một số quy tắc xét dấu biểu thức f x ( )  Nếu f x ( ) là đa thức thì khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với a là hệ số cao nhất.  Qua nghiệm đơn (bội lẻ) đổi dấu, qua nghiệm kép (bội chẵn) không đổi dấu. CASIO: CALC X X = 0 với X0 là một số tùy ý trong khoảng (a b; ) để xác định dấu của f x ( ) trong khoảng đó (với f x ( ) liên tục và vô nghiệm trên khoảng (a b; ) ). DẠNG TOÁN: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: 4 2 y x x = − + − 4 3 . Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của hàm số: 3 2 y x x x = + + + 3 3 2 . Ví dụ 3: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: 2 y x x = − 2 . Ví dụ 4: Xét sự biến thiên của hàm số: 3 1 1 x y x + = − . Ví dụ 5: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:   2 y x x x = +  sin cos , 0; .
TOÁN 12 – CHƯƠNG 1 ThS. Trần Thanh Yên Trang 4 B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) 3 2 y x x = + + 2 3 1 b) 4 2 3 2 6 9 3 3 y x x x = − + − − c) 4 2 y x x = − + 2 3 d) 4 y x x = + e) 1 2 1 y x x = − + f) 2 y x x = − 2 g) 2 2 3 3 2 x x y x − + = + h) 2 16 x y x = − i) 2 y x x = − − 20 j) y x x = − + ln 1 ( ) k) 2 2 . x y x e − = l) ( ) 2 1 . x y x e = − m) y x x = ln n) 2 y x x = ln o) 2 y x x = .log p) ( ) 2 y x x = − + − ln 5 6 q) 2 x x 4 4 y e − + = r) ( ) 2 1 x y x e = + Câu 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) y x x x = −  sin , 0;2    b) sin 3 , 0; 3 y x x    =      c) sin 2 , ; 2 2 y x x x     = −  −    d) 2 sin cos 1, 0; 2 y x x x    = + +      Câu 3: Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức ( ) 3 2 f x x x x = − + + 0,01 0,04 0,25 0,44 (tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017 (0 7  x ) . (Theo: https://infographics.vn/interactive-xuat-khau- rau-qua-du-bao-bung-no-dat-4-ty-usd-trong-nam- 2023/116220.vna) a) Tính đạo hàm của hàm số y f x = ( ). b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017. Câu 4: Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox . Toạ độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số ( ) 3 2 x t t t t = − + 6 9 với t  0 . Khi đó x t ( ) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t , kí hiệu v t v t ( ); ( ) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t , kí hiệu a t( ) . a) Tìm các hàm v t( ) và a t( ) . b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm? Câu 5: Thể tích V (đơn vị: centimét khối) của 1 kg nước tại nhiệt độ T T (0 C 30 C     ) được tính bởi công thức sau: ( ) 2 3 V T T T T = − + − 999,87 0,06426 0,0085043 0,0000679 .