Title MỤC 2. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY.pdf ✅

Chương III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN Mục 2. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY Những kiến thức buộc phải nhớ Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau : a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn Định lí 2: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn BÀI TẬP Bài 94: (10/71/SGK T2) a) Vẽ đường tròn tâm O bán kính . Nêu cách R  2cm vẽ cung AB có số đo bằng . 60 Hỏi dây AB dài bao nhiêu cm b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như hình vẽ b Giải a) Cách vẽ cung AB có số đo bằng 60 Vẽ đường tròn tâm O bán kính . R  2cm Lấy điểm A bất kỳ trên đường tròn này là tâm, vẽ đường tròn tâm A bán kính cho AB  2cm cắt (O) tại B. Nối A và B với O ta được: AOB(vì đường tròn tâm A có bán kính nên AB  2cm đi qua O) có OA AB BO AOB ®Òu AOB 60  s®AB 60 (theo định lí : số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó)
b) Cách chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau Vẽ đường tròn tâm O bán kính tùy ý. Trên đường tròn này lấy điểm A bất kỳ. Vẽ đường tròn tâm A bán kính bằng OA cho cắt (O) tại B. Vẽ đường tròn tâm B bán kính OB cho cắt đường tròn (O) tại C. Vẽ các đường kính AD, BE, CF của đường tròn (O) ta được 6 cung AB  BC CD  DE  EF  FA Bài 95: (11/72/SGK T2) Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và O cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC và AOD . Gọi E là giao điểm thứ 2 của AC với đường tròn khác O điểm O a) So sánh các cung nhỏ BC và BD b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa cung EBD (tức là điểm B chia cung lớn ED thành hai cung bằng nhau BE  BD Giải a) Chứng minh s®BC  s®BD *Cách 1: Muốn chứng minh ta BC  BD phải chứng minh được BOC  BOD Muốn chứng minh được ta BOC  BOD phải chứng minh được AOB  AOB
Muốn chứng minh được ta AOB  AOB vận dụng giả thiết: “Hai đường tròn (O) và O bằng nhau” và “(O) cắt O tại A và B”. Từ đó ta có: (các bán kính OA  AO OB  BO của hai đường tròn bằng nhau) Tứ giác là hình thoi (Theo AO'BO dấu hiệu 1 : Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi)  AOB  AOB (Hai góc đối của một hình thoi) mà         180 Hai gãc kÒbï 180 Hai gãc kÒbï AOB BOC AO B BO D              BOC  BOC (Hai góc kề bù với hai góc bằng nhau)  BC  BD (Theo định nghĩa: Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó ) *Cách 2: Muốn chứng minh được ta BC  BD phải chứng minh dây dây BD BC  Muốn chứng minh dây BC bằng dây BD phải chứng minh ABC  ABD ABC có O là trung điểm của AC (tâm và đường kính của một đường tròn) là trung  BO tuyến ứng với cạnh AC Lại có (các bán kính    của một đường tròn) vuông tại B (Theo 2 AC OA OB OC  ABC định lí : Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc cạnh nào bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông) Chứng minh tương tự cũng được vuông ABD tại B ABC và vuông ABD tại B có :     ®­ êng kÝnh cñahai ®­ êng trßn b»ng nhau c1nh gãc vu«ng chung cñahai tam gi ̧c vu«ng AC AD AB AB       ABC  ABD(cạnh huyền - cạnh góc vuông)  BC  BD (Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Dây BC  bằng dây BD của hai đường tròn bằng nhau (Theo  BC  BD định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau thì: Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau) b) Chứng minh B là điểm chính giữa của cung EBD Muốn chứng minh được B là điểm chính giữa của cung EBD ta phải chứng minh được cung BE bằng cung BD Muốn chứng minh được cung BE bằng cung BD ta phải chứng minh dây BE bằng dây BD Muốn chứng minh ta BE  BD  BC chứng minh vuông CED tại E Muốn chứng minh vuông CED tại E ta chứng minh vuông AED tại E. Muốn chứng minh vuông AED tại E ta vận dụng AD là đường kính và E O nằm trên O
AED có (cùng là bán kính OA OE OD của   2 AD O  OE  OA OD   AED vuông tại E (Theo định lí: Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc cạnh nào bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông) vuông  CED tại E CED có BC  BD (chứng minh trên) là trung  EB tuyến thuộc cạnh huyền CD nên BC  BE  BD (Theo định lí: Trong một tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền). Vậy . Mà BD và BE là hai dây BD  BE của đường tròn O  BE  BD (Theo định lí 1 : Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau thì : Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau ) Vậy B là điểm chính giữa của cung EBD Bài 96: (12/72/SGK T2) Cho . Trên tia ABC đối của tia AB lấy một điểm D sao cho . AD  AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp . DBC Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc : OH, OK với BC và BD H  BC ;K  BD  a) Chứng minh rằng OH OK b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC Giải Chứng minh a) Chứng minh OH OK Muốn chứng minh ta OH OK phải chứng minh BC  BD Muốn chứng minh được bất đẳng thức ta BC  BD phải sử dụng bất đẳng thức tam giác với ABC ta có : mà BC  AB  AC AC  AD (giả thiết)  BC  AB  AD Do đó BC  BD Với đường tròn (O) ngoại tiếp có dây BD BCD lớn hơn dây BC Theo định lí về dây cung và khoảng cách từ dây đến tâm : Trong hai dây của một đường tròn *Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn. Do đó OK OH b) Chứng minh BC  BD