Title Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 1 - Tính đơn điệu và cực trị.doc ✅

Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 1 - TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định lý Lagrange: Cho f là một hàm liên tục trên ;ab , có đạo hàm trên ;ab . Lúc đó tồn tại ;cab để:  'fbfafc ba    hay 'fbfabafc Định lý Rolle: Cho f là một hàm liên tục trên ;ab , có đạo hàm trên ;ab và fafb . Lúc đó tồn tại ;cab để '0fc . Định lý Cauchy: Cho f và g là hai hàm liên tục trên ;ab , có đạo hàm trên ;ab và '0gx tại mỗi ;xab . Lúc đó tồn tại ;cab để     ' ' fbfafc gbgagc    . Tính đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng ;ab khi đó: - Nếu f đồng biến trên ;ab thì '0fx với mọi ;xab . - Nếu f nghịch biến trên ;ab thì '0fx với mọi ;xab . - Nếu '0fx với mọi ;xab và '0fx chỉ tại một số hữu hạn điểm của ;ab thì hàm số đồng biến trên khoảng ;ab . - Nếu '0fx với mọi ;xab và '0fx chỉ tại một số hữu hạn điểm của ;ab thì hàm số nghịch biến trên khoảng ;ab . - Nếu f đồng biến trên khoảng ;ab và liên tục trên ;ab thì đồng biến trên ;ab ; và liên tục trên ;ab thì đồng biến trên ;ab ; liên tục trên ;ab thì đồng biến trên ;ab . - Nếu f nghịch biến trên ;ab và liên tục trên ;ab thì nghịch biến trên ;ab ; liên tục trên ;ab thì nghịch biến trên ;ab ; liên tục trên ;ab thì nghịch biến trên ;ab . - Nếu '0fx với mọi xD thì hàm số f không đổi trên D. Cực trị của hàm số
Trang 2 Cho hàm số f xác định trên tập hợp D và 0xD . 0x được gọi là một điểm cực đại của f nếu tồn tại một khoảng ;ab chứa điểm 0x sao cho ;abD và 0fxfx , 0;\xabx . 0x được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại một khoảng ;ab chứa điểm 0x sao cho ;abD và 00,;\fxfxxabx . Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm trên ;ab . Nếu f đạt cực trị tại điểm 0;xab thì 0'0fx . - Cho yfx liên tục trên khoảng ;ab chứa 0x có đạo hàm trên các khoảng 0;ax và 0;xb : Nếu 'fx đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại 0x Nếu 'fx đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại 0x - Cho yfx có đạo hàm cấp hai trên khoảng ;ab chứa 0x Nếu 0'0fx và 0''0fx thì f đạt cực tiểu tại 0x Nếu 0'0fx và 0''0fx thì f đạt cực đại tại 0x Ứng dụng vào phương trình - Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trình 0fx có tối đa 1 nghiệm. Nếu 0fa , a thuộc K thì xa là nghiệm duy nhất của phương trình 0fx . - Nếu f có đạo hàm cấp 2 không đổi dấu trên K thì 'f là hàm đơn điệu nên phương trình 0fx có tối đa 2 nghiệm trên K. Nếu 0fa và 0fb với ab thì phương trình 0fx chỉ có 2 nghiệm là xa và xb . - Nếu f là một hàm liên tục trên ;ab , có đạo hàm trên ;ab thì phương trình  'fbfa fx ba    có ít nhất một nghiệm ;cab . Đặc biệt, nếu 0fafb thì phương trình '0fx có ít nhất một nghiệm ;cab hay giữa hai nghiệm của f thì có ít nhất một nghiệm của đạo hàm 'f . Chú ý: 1) Tung độ cực trị yfx tại 0xx : Hàm đa thức: 00.'yqxyrxyrx
Trang 3 Hàm hữu tỉ:      000 00 ' ' uxuxux yfxy vxvxvx Đặc biệt: Với hàm yfx bậc 3 có CĐ, CT và nếu .'yqxyrx thì phương trình đường thẳng qua CĐ, CT là yrx . 2) Số nghiệm của phương trình bậc 3: 320,0axbxcxda . Nếu '0,fxx hay '0,fxx thì 0fx chỉ có 1 nghiệm. Nếu '0fx có 2 nghiệm phân biệt và: Với .0 CÐCTyy : phương trình 0fx chỉ có 1 nghiệm Với .0 CÐCTyy : phương trình 0fx có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép) Với .0 CÐCTyy : phương trình 0fx có 3 nghiệm phân biệt 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 1.1: Chứng minh các hàm số sau là hàm không đổi a) 22coscoscoscos 33fxxxxx    b) 222sinsin2cos.cos.cosfxxaxaxax Hướng dẫn giải a) '2cossin2cossinsincoscos.sin 3333fxxxxxxxxx    2 sin2sin2sin2 33xxx    sin22cos2.sin 26xx    sin2cos20 2xx    , với mọi x. Do đó f hằng trên R nên 11301 424fxf . b) Đạo hàm theo biến x (a là hằng số). '2sincos2cossin2cossincoscossinfxxxaxaxaxaxxax 2sin2sin222cos.sin20xxaaxa . Do đó f hằng trên R nên 22202sin2cossinfxfaaa .
Trang 4 Bài toán 1.2: Cho 2 đa thức Px và Qx thỏa mãn: ''PxQx với mọi x và 00PQ . Chứng minh: PxQx . Hướng dẫn giải Xét hàm số ,fxPxQxDℝ Ta có '''0fxPxQx theo giả thiết, do đó fx là hàm hằng nên 0000fxfPQ với mọi x. 0fxPxQx . Bài toán 1.3: Chứng minh rằng: a) arcsinarccos,1 2xxx  b) 2 2 2arctanarcsin,1 1 x xx x  Hướng dẫn giải a) Nếu 1,1xx thì đúng. Nếu 11x thì xét hàm số arcsinarccosfxxx  22 111 '0 2211fxfxCf xx     b) Với 1x , xét 222arctanarcsin 1 x fxx x  Ta có  2 2 2 222 2 2 2 22 1222 '0 111 1 1 x x fx xxx x x         (vì 1x ) Suy ra 1 244fxCf  . Bài toán 1.4: Tính gọn 1 arctanarctanx x với 0x . Hướng dẫn giải Xét 1arctanarctanfxx x . ;00;D Với 0;x thì f liên tục và có đạo hàm