Title Chuyên đề 6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN.doc ✅

Chuyên đề 6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN A. Kiến thức cần nhớ Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn có nhiều cách giải, sau đây là một số phương pháp thường dùng:  Nâng lên lũy thừa.  Đặt ẩn phụ.  Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.  Sử dụng bất đắng thức, đánh giá hai vế của phương trình. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 1222423xxxx b) 24625242254xxxx c 44445xxxx Giải Tìm cách giải. Ví dụ này bản thân trong câu đều có chứa hằng đẳng thức. Nên chúng ta có thể đưa về dạng 2.abab Sau đó xét các khoảng để bỏ giá trị tuyệt đối để giải các phương trình. Trình bày lời giải a) 2221242402xxxxx 2221223 212232112 xx xxxx   Vì 2112xx nên: 2102102123xxxx Vậy tập nghiệm của phương trình là: 2/3xSx b) 5 24625242254 2xxxxx    22 2562592522514 (253)(251)4 2532514 2532514 251125 xxxx xx xx xx xx      Nên 5 251025102513 2xxxx Vậy tập nghiệm của phương trình là: 5 |3 2Sxx   c) 4444444454xxxxx 2242425 42425 4234 xx xx xx    Trường hợp 1. Xét 428.xx Phương trình có dạng:
 4234 5 245410,25 2 xx xxxtm   Trường hợp 2. Xét 4248.xx Phương trình có dạng: 2434xx Không tồn tại x. Vậy tập nghiệm của phương trình là: 10,25S Nhận xét. Câu b cũng có thể giải như câu c. Tuy nhiên ở đây chúng ta đã vận dụng bất đẳng thức ,ABAB đẳng thức chỉ xảy ra khi .0.AB Dựa vào đó câu a cũng có thể giải được như vậy. Ví dụ 2: Giải phương trình: 3123 1.xx Giải Tìm cách giải. Trước khi giải, chúng ta nên đặt điều kiện. Các biểu thức trong căn chi có biến là bậc nhất, nên chúng ta nâng lên lũy thừa để giảm bớt số căn. Trình bày cách giải Điều kiện: 1 2 3x Với điều kiện trên phương trình (1) 3132 0xx   2 2 319622 32520 9225204 1 411707 4 xxx xx xxx x xxtm x         Vậy tập nghiệm của phương trình là 7 1; 4S   Ví dụ 3: Giải phương trình 33172xx Giải Áp dụng hằng đẳng thức: 3333,abababab lập phương hai vế của phương trình, ta được:   3 3 17317.28 170170 1 7 xxxx xxxx x x        Vậy nghiệm của phương trình là 1;7S Ví dụ 4: Giải phương trình: 245223.xxx Giải Tìm cách giải. Nhận thấy việc nâng lên lũy thừa để khử dấu căn, ta được phương trình bậc 4, có thể giải được bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử, song phức tạp. Bắt đầu từ 223,x gợi ý cho chúng ta thêm phần thích hợp để tạo thành hằng đẳng thức, do đó rất tự nhiên ta thêm được 232231.xx Từ đó ta có lời giải sau: Trình bảy lời giải TXĐ: 3 2x 2 45223.xxx
22 2 2123223 10 10 231 xxxx xx     2310 10 1x x x     (thỏa mãn TXD) Vậy nghiệm của phương trình 1S Ví dụ 5: Tìm tất cả các số thực 1232005;;;...xxxx thỏa mãn: 2221220051220051122...20052005... 2xxxxxx (Thi học sinh giói lớp 9, Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2004-2005) Giải Tìm cách giải. Bài toán chỉ có một phương trình, có 2005 ẩn số. nên không thể giải theo cách thông thường được. Do đó chúng ta nghĩ tới việc giải phương trình bằng cách đánh giá hai vế của phương trình. Trình bảy lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si, ta có: 22211. 22KxKKxKx Đẳng thức xảy ra khi 2 .xKK Thay x lần lượt là 1232005;;;...xxxx và K lần lượt là 1, 2, 3, …, 2005, ta có: 222 122005122005 111 122...20052005... 222xxxxxx Đẳng thức chỉ xảy ra khi 2 11 2 22 2 20052005 112 226 402203020052005 xx xx xx         Ví dụ 6: giải phương trình: 23221xx Giải Tìm cách giải Nhận thấy 32111xxxx và 22211,xxxx mặt khác lại xuất hiện 3 21x nên gợi cho chúng ta dùng hằng đẳng thức để giải. Trình bày lời giải TXĐ: 1.x 23 221xx 2222110xxxx   2 2 2 2 2 22 11 11 11 1 1210 1 0 20 xxx xxx xxx xxx xxx xx         200;2xxxx (thỏa mãn TXĐ). Vậy tập nghiệm của phương trình là 0;2.S Ví dụ 7: Giải phương trình 26214128.xxxx (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, tỉnh Nam định, năm học 2014-2015) Giải
Tìm cách giải. Mới nhìn qua, bài toán này khá phức tạp. Nâng lên lũy thừa, dùng hằng đẳng thức hay đánh giá hai vế đều không khả thi. Quan sát và phân tích chúng nhận thấy 262412xxxx và 628,xx nên bài toán có thế giải bằng phương pháp đổi biến. Trình bày lời giải ĐKXĐ: 2,x đặt 2260; 208xaxbab phương trình có dạng: 22 011 10ab abababababab abab      • Với ,ab ta có: 62.xx Phương trình vô nghiệm. • Với 0 111 011a ababab b             61 voâ nghieäm 213thoûa maõn x xx Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 3x Ví dụ 8: Giải các phương trình sau a) 22269164835;xxxx b) 222221322232.xxxxxxx Giải Tìm cách giải. Bài toán rất phức tạp và khó tìm được đường lời giải. Bài toán không thể nâng lên lũy thừa được, bởi số mũ khá cao. Bài toán cũng không đổi biến được, bởi không có nhiều điểm giống nhau. Bài toán cũng không thể đánh giá hai vế được. Quan sát câu a, bài toán ta thử cho mỗi vế đều bằng 0 tức là 22690xx và 2 1648350,xx thì nhận được 7 . 4x Do vậy chúng ta dùng biểu thức liên hợp đối với vế trái để trục căn thức ở tử, khi đó bài toán sẽ giải được. Cũng với suy nghĩ như câu a, song với kinh nghiệm đã có, trước hết ta biến đổi phương trình về dạng 2222 21223232.xxxxxxx Nhằm khi dùng biểu thức liên hợp sẽ không còn bậc hai ở tử thức. Trình bày lời giải a) 2 2269164835;xxxx TXĐ: 3 2x     2269 4745 2269 74 47450 2269 1 74450 2269 xx xx xx x xx xx xx xx              Nhận xét: Với 3 2x ta có 450x nên 1450 2269x xx  Vậy phương trình tương đương với 7 740 4xx Do đó tập nghiệm của phương trình là: 7 4S   b) 222221322232xxxxxxx