Title 7. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN.docx ✅

CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN Câu 1. (Trường vào lớp 10 An Giang năm 2023-2024) Cho tam giác ABCABAC nội tiếp trong đường tròn O tâm O đường kính BC , đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt AC tại D . a. Chứng minh rằng tứ giác ABOD nội tiếp. b. Tiếp tuyến tại điểm A với đường tròn O cắt đường thẳng BC tại điểm P , sao cho PBBO2cm . Tính độ dài đoạn PA và số đo góc APC . c. Chứng minh rằng 2 2 PBBA PCAC . Lời giải a) Ta có BAC90 (góc nội tiếp chắn nửa đường  tròn), BOD90 (giả thiết)  BACBOD180 Vậy tứ giác nội  tiếp b) Tam giác APO vuông tại A , áp dụng định lý Pitago ta có 222222 POPAOAPAPOOA 222PA4212 PA23cm Mặt khác  OA23 tanAPO AP323APO30 hay  APC30 c) Xét hai tam giác PBA và PAC có  Góc P chung   PABPCA (cùng chắn cung)  Vậy hai tam giác PBA và PAC đồng dạng, khi đó PBPABA PAPCAC   PBBA PAAC và PABA PCAC Nhân hai biểu thức ta được 2 PBPABABABA .. PAPCACACAC     2 2 PBBA PCAC
Câu 2. (Trường vào lớp 10 Bà Rịa Vũng Tàu năm 2023-2024) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn O ABAC . Các đường cao ,BDCE cắt nhau tại H . a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. b) Đường thẳng ED cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn O tại K và cắt O tại ,MN ( M nằm giữa D và K ). So sánh KNC với KCM và chứng minh 2 .KCKMKN . c) Kẻ đường kính AQ của đường tròn O cắt MN tại P . Chứng QMQN . d) Giả sử BCAC gọi ,FI lần lượt là giao điểm của hai tia ,AHHQ với BC . Chứng minh rằng 2 2 3 HDE ABC SDE SBC . Lời giải a) Xét tứ giác ADHE ta có 90DE suy ra 180DE do vậy tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. b) Ta có 1 2KNCMNCsdMC Do CK là tiếp tuyến nên 1 2KCMsdCM Từ hai lập luận trên ta có 1 2KNCKCMsdCM . Vậy  KNCKCM . Xét hai tam giác KNC và KCM ta có KNCKCM và góc K chung do đó KNC và KCM là hai tam giác đồng dạng, do vậy KNKC KCKM hay 2 .KCKMKN . c) Theo hình vẽ ta có
 AEDAHD (cùng chắn cung HD đường tròn O  BHF ( Hai góc đối đỉnh) = ACB (cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc). Ta lại có  EAPBAQ , mà 90ACBBAQ suy ra 90AEDEAP từ đây suy ra  90APE hay AQEDAQMN do vậy AQ là đường trung trực của MN do vậy QMQN . d) Ta có I là giao điểm của HQ và BC Xét tứ giác HBQC ta có //HBGC (vì cùng vuông góc với AC ) Tương tự //HCQB (vì cùng vuông góc với AB ) Do đo tứ giác HBQC là hình bình hành, suy ra I là trung điểm của BC . Xét 4 điểm ,,,EBCD cùng nằm trên đường tròn đường kính BC , ta có hai tam giác EHD và BHC đồng dạng (g-g-g) theo tỷ số ED BC . Hai BHC và ABC có đường cao lần lượt là HF và AF (cùng ứng với cạnh đáy BC ) do đó BHC ABC SHF SAF . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , qua G kẻ đường thẳng song song với BC cắt AF tại J ta có tỷ số 1 3 AJ AF . Ta có 2 ..HBCHDEHDE ABCHBCABC SSSEDHF SSSBCAF     (1) Tiếp theo ta sẽ chứng minh 1 3 HF AF với giả thiết ABACBC và  90A . Vì ABF và CHF đồng dạng nên AFCFFBFH BFHFFAFC Trong tam giác ABC ta có cot.cot.FBFCHF BC FAFAAF (2) Mặt khác trong tam giác nhọn ABC thì ta có cot.cotcot.cotcot.cot1ABBCCA (vượt tầm lớp 9!) Lại từ giả thiết ABACBC suy ra 90CBA , từ đây ta lại có 0cotcotcotABC do đó 1cot.cotcot.cotcot.cotcot.cotcot.cotcot.cotABBCCACBBCCB hay 1 cot.cot 3BC (3) Từ (1),(2),(3) ta có được 1 3 HF AF và 2 2 1 3 HDE ABC SED SBC (đpcm). Câu 3. (Trường vào lớp 10 Bắc Giang năm 2023-2024) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ;OR . Các đường cao ,,ADBFCE của ABC cắt nhau tại H . a) Chứng minh tứ giác BEHD nội tiếp một đường tròn.
b) Kéo dài AD cắt đường tròn O tại điểm thứ hai K . Kéo dài KE cắt đường tròn O tại điểm thứ hai I . Gọi N là giao điểm của CI và EF . Chứng minh 2.CECNCI . c) Kẻ OM vuông góc với BC tại M . Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp AEF . Chứng minh ba điểm ,,MNP thẳng hàng. Lời giải a) Chỉ ra được o90BEH Chỉ ra được o90BDH Suy ra tứ giác BEHD có o 180BEHBDH và BEH ,  BDH là hai góc ở vị trí đối diện nhau Kết luận tứ giác BEHD nội tiếp được trong một đường tròn. b) Ta có  CIKCAK (cùng bằng )1 2sđCK ) Chỉ ra tứ giác AEHF nội tiếp (Tổng hai góc đối bằng 180 ) ·· FAHFEH . Suy ra CIENEC Chỉ ra hai tam giác CIE và CEN đồng dạng theo trường hợp góc – góc 2 .CECI CECNCI CNCE (đpcm) c) Chỉ ra P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF . Chỉ ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC . Mà hai tứ giác AEHF và BEFC có hai điểm chung là EF nên PM đi qua trung điểm của 1EF Gọi Q là hình chiếu của E trên AC . Xét EAC vuông tại E , có EQ là đường cao nên 2 .CECQCA