Title Chủ đề 9 Bài toán đếm.docx ✅

Trang 1 Bài toán đếm Câu 1. (HSG12 Cụm Thanh Xuân năm)Hoa có 11 bì thư và 7 tem thư khác nhau. Hoa cần gửi thư cho 4 người bạn, mỗi người 1 thư. Hỏi Hoa có bao nhiêu cách chọn ra 4 bì thư và 4 tem thư, sau đó dán mỗi tem thư lên mỗi bì thư để gửi đi? Lời giải Chọn 4 bì thư từ 11 bì thư: có 4 11C cách. Chọn 4 tem thư từ 7 tem thư: có 4 7C cách. Dán 4 tem thư và 4 bì thư vừa chọn: có 4! cách. Gửi 4 bì thư đã dán 4 tem thư cho 4 người bạn: có 4! cách. Vậy có tất cả: 44 117..4!.4!6652800CC cách. Câu 2. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình)Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 lập các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó. A.120. B.42000. C.2331. D.46620. Lời giải Chọn D Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 lập được tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là: 6.5.4120 (số). Vì vai trò các chữ số giống nhau nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số ở mỗi hàng là như nhau và bằng: 120:620 (lần). Tổng tất cả các số lập được là: 123456.20.11146620 . Câu 3. (HSG 12 Yên Lạc 2 Vĩnh Phúc năm) Cho các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7 . Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối? Lời giải Do 0123456728 , nên để tổng 4 chữ số đầu và tổng 4 chữ số cuối bằng nhau là tổng đó bằng 14 . Ta lập 4 bộ số có tổng là 14 và có chữ số 0 là: 0;1;6;7 ; 0;2;5;7 ; 0;3;4;7 ; 0;3;5;6 . Với mỗi bộ số có số 0 trên ứng với một bộ còn lại không có số 0 và có tổng bằng 14. TH1: Bộ có số 0 đứng trước: có 4 bộ có chữ số 0, ứng với mỗi bộ có: +) Xếp 4 số đầu có 3.3! cách. +) Xếp 4 số cuối có 4! cách. 9 Chuyên đề
Trang 2 Áp dụng qui tắc nhân có 4.3.3!.4!1728 số. TH2: Bộ có số 0 đứng sau: có 4 bộ có chữ số 0, ứng với mỗi bộ có: +) Xếp bộ không có chữ số 0 đứng trước có 4! cách. +) Xếp bộ có chữ số 0 đứng sau có 4! cách. Áp dụng qui tắc nhân có 4.4!.4!2304 số. Vậy có 172823044032 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 4. (HSG11 tỉnh Vĩnh Phúc năm)Từ 2018 số nguyên dương đầu tiên lấy ra 6 số xếp thành một dãy số có dạng 123456,,,,,aaaaaa . Hỏi có bao nhiêu dãy số dạng trên biết 123,,aaa theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Lời giải 123,,aaa là cấp số cộng nên 13 2 2 aa a  . Suy ra 13,aa cùng tính chẵn lẻ. TH1: 13,aa cùng lẻ. 13,aa chọn trong các số 1,3,5,...,2017 nên số cách là 2 1009A . 13 2 2 aa a  nên 2a có 1 cách. 456,,aaa chọn trong 2018 số loại đi ba số 123,,aaa nên số cách là 3 2015A . Do đó số cách là 23 10092015.AA . TH2: 13,aa cùng chẵn.Làm tương tự TH1 có 23 10092015.AA cách. Vậy có 23 100920152..AA cách lập thành dãy số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 5. (HSG12 tỉnh KonTum năm) Có 20 cây giống trong đó có 2 cây xoài, 2 cây mít, 2 cây ổi, 2 cây bơ, 2 cây bưởi và 10 loại cây khác 5 loại cây trên đồng thời đôi một khác loại nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 cây để trồng trong một khu vườn sao cho không có hai cây nào thuộc cùng một loại. Lời giải
Trang 3 Trường hợp 1 : Chọn 5 cây nhóm II.Số cách chọn là 5 10252C (cách chọn). Trường hợp 2 : Chọn 4 cây nhóm II, chọn 1 cây nhóm I. Số cách chọn là 411 1052..2100CCC (cách chọn). Trường hợp 3 : Chọn 3 cây nhóm II, chọn 2 cây nhóm I. Số cách chọn là 23211052..4800CCC (cách chọn). Trường hợp 4 : Chọn 2 cây nhóm II, chọn 3 cây nhóm I. Số cách chọn là 32311052..3600CCC (cách chọn). Trường hợp 5 : Chọn 1 cây nhóm II, chọn 4 cây nhóm I. Số cách chọn là 41411052..800CCC (cách chọn). Trường hợp 6 : Chọn 5 cây nhóm I.Số cách chọn là 55152.32CC (cách chọn). Vậy số cách chọn cây thỏa mãn yêu cầu bài ra là: 2522100480036008003211584 (cách chọn). Câu 6. (HSG11 tỉnh Thanh Hóa năm)Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau mà có mặt hai chữ số lẻ và ba chữ số chẵn, trong đó mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần? Lời giải Gọi các chữ số lẻ khác nhau là ,xy thuộc {1;3;5;7;9}A và ba chữ số chẵn khác nhau là ,,abc thuộc {0;2;4;6;8}B . + TH1: Nếu chọn một chữ số x lẻ đứng đầu thì có 5 cách chọn, chữ số y lẻ còn lại và ba chữ số chẵn thì số cách chọn là 3 54.C và chọn lại bộ (a;b;c) có một cách. Bây giờ ta sắp xếp vị trí cho bộ 7 chữ số (không kể số lẻ x đứng đầu) thì có các cách khác nhau là: 3 5 7! 4..1. 2!.2!.2!C ( Ta nói x có 5 cách chọn nghĩa là đã xếp vị trí cho x, việc còn lại là sắp xếp vị trí cho bộ 7 chữ số còn lại). Vậy trường hợp 1 có các số thỏa mãn bài toán là: 3 5 7! 5.4..126000 2!.2!.2!C (số) + TH2: Nếu chọn 1 chữ số chẵn a đứng đầu thì có 4 cách, hai chữ số ,bc có 2 4C cách, chọn lại chữ số a có 4 cách, chọn lại cặp (b;c) có một cách. Chọn hai chữ số lẻ có 2 5C cách. Bây giờ ta sắp xếp vị trí cho bộ 7 chữ số (không tính a) thì có các cách khác nhau là: 22 45 7! .1.1..75600 1!.2!.2!CC Vậy trường hợp 2 có các số thỏa mãn bài toán là: 4.75600302400 (số) Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 126000302400428400 số. Cách 2.Gọi các chữ số lẻ khác nhau là ,xy thuộc {1;3;5;7;9}A và ba chữ số chẵn khác nhau là ,,abc thuộc {0;2;4;6;8}B .
Trang 4 + TH1: Bộ 3 chữ số chẵn (a;b;c) không có chữ số 0. Số cách chọn bộ 3 số chẵn 3 4C cách. Số cách chọn 2 số lẻ ,xy là 2 5C . Bây giờ ta sẽ sắp các chữ số vào 8 vị trí: Chọn 2 vị trí trong 8 vị trí để xếp chữ số chẵn thứ nhất có 2 8C cách, chọn 2 vị trí trong số 6 vị trí còn lại để xếp chữ số chẵn thứ 2 có 2 6C , chọn 2 vị trí trong 4 vị trí còn lại để xếp chữ số chẵn thứ 3 có 2 4C cách, hai vị trí còn lại sắp 2 chữ số lẻ có 2! cách. Vậy số các số thõa mãn trường hợp 1: 32222 45864.....2!201600CCCCC (số) + TH2: Bộ 3 chữ số chẵn (a;b;c) có chữ số 0. Số cách chọn 2 số chẵn còn lại 2 4C . Số cách chọn 2 số lẻ ,xy là 2 5C . Bây giờ ta sẽ sắp các chữ số vào 8 vị trí: Chọn 2 vị trí trong 7 vị trí để xếp chữ số 0 (trừ vị trí đầu tiên) có 2 7C cách, chọn 2 vị trí trong số 6 vị trí còn lại để xếp chữ số chẵn thứ 2 có 2 6C , chọn 2 vị trí trong 4 vị trí còn lại để xếp chữ số chẵn thứ 3 có 2 4C cách, hai vị trí còn lại sắp 2 chữ số lẻ có 2! cách. Vậy số các số thõa mãn trường hợp 2: 22222 45764.....2!226800CCCCC (số). Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 201600226800428400 số. Câu 7. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình)Khi phân tích số 1000! thành tích các thừa số nguyên tố, số các thừa số 3 là: A. 499 . B.500 C.501 D.498. Lời giải Chọn D Số các số chỉ chia hết cho 3 là 333-111=222; Số các số chỉ chia hết cho 23 là 111-37=74; Số các số chỉ chia hết cho 33 là 37-12=25; Số các số chỉ chia hết cho 43 là 12- 4= 8; Số các số chỉ chia hết cho 53 là 4- 1= 3; Số các số chỉ chia hết cho 63 là 1. Vậy số các thừa số 3 là: 222.1+74.2+25.3+8.4+3.5+1.6=498.