Title Chủ đề 6 Bất đẳng thức.docx ✅

Trang 1 Bất đẳng thức Câu 1. (HSG chọn HSG quốc gia tỉnh ĐỒNG THÁP 2018-2019) a) Cho các số thực ,,xyz thỏa mãn 222 111 1xyz yzx . Tính giá trị biểu thức 111Pxyyzzx . b) Cho các số thực dương ,ab thỏa mãn 33aabb . Chứng minh 221ab . Lời giải a) Từ giả thiết suy ra:    2 2 2 1 11 1 12 1 13 x y y z z x            . Do đó, ,,1xyz . Hàm số 211ft t là hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . Nếu xyfyfzyzfzfxzxfxfyxy (vô lí) Suy ra: xy . Chứng minh tương tự, ta suy ra xyz . Thay xyz vào giả thiết ta được: 321xx . Lúc đó, 22319193(0)PxxPxxPP . b) 333010,1aabbaaa . Với 0,1a thì 3 1aa . Do đó, 33212.20,1bbbbbb . Giả sử, 221ab . Từ giả thiết ta suy ra 332212ababababababababab (vô lí). Vậy 221ab . Câu 2. (HSG12 tỉnh Bình Thuận vòng 2 năm 2018-2019) Cho ,0; 2xy    . Chứng minh rằng: 222222 1119 sinsin1sincos1cos12sinsin2sin2sinsin2cosxyxyxxyxyxy  . Lời giải Đặt sinsin,sincos,cosaxybxycx thì ,,0abc và 2221abc . 6 Chuyên đề
Trang 2 Ta cần chứng minh 222 1119 1114abcabacbc  . Thật vậy, 222 111111 111abcabacbcbacacb  =   2abc abacbc   Mà  18 99 abbccaabcabbccaabc abcabbccaabcabbccaabcabbcca   Nên 222 1119 1114abcabbcca  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 11 arccos, 433abcxy  Câu 3. (HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019 (2)) Cho ba số thực dương , , abc . Chứng minh bất đẳng thức: 22211142942abbccaabc abcabc     . Lời giải Ta có 22211194242abbccaabc abcabc       222222 22222*abbccaabacbc abbccaabc    Không giảm tổng quát giả sử 22abac abc bc   Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có:   22 22 2abac bcabac bc          22 22 2 1 abac abac bc bcabc        Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bc . Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM:   2 2222 222 222 2222abcabcabc abcabc  Suy ra     22 22 222 2 22 2 abac abac abcabc      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc hoặc 2abc
Trang 3 222 322abcbcbc ( vì abc )   22 22222 3bcbc bcabc    Từ 1,2,3 suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi abc hoặc 22abc và các hoán vị. Câu 4. (HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Cho tam giác ABC có các cạnh ,,BCaACbABc . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. a) Chứng minh rằng 222...aIAbIBcICabc . b) Chứng minh rằng 2226abcIAbcaIBcabICabc . Hãy chỉ ra một trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Lời giải a) Giả sử đường tròn I tiếp xúc với ,,BCCAAB theo thứ tự tại ,,DEF . Gọi K là điểm đối xứng của I qua AC . Ta có: 2 . . AFIEAIK ABCABC SSAIAKIA SSABACbc . Tương tự 22 ;CEIDBDIF ABCABC SSIBIC ScaSab . Suy ra 222 1AFIEBDIFCEID ABC SSSIAIBIC bccaabS   Suy ra 222 ...aIAbIBcICabc . b) Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: 222222111abcIAbcaIBcabICabcIAbcaIBcabIC 22233abcaIAbIBcIC Theo ý a) ta có 222aIAbIBcICabc 2226abcIAbcaIBcabICabc ( ĐPCM) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 222222abcIAbcaIBcabICaIAbIBcIC Vậy dễ thấy có một trường hợp xảy ra dấu của đẳng thức là: abc IAIBIC     ABC là tam giác đều. Câu 5. (HSG12 tỉnh Đồng Nai năm 2018-2019)Cho ,,abc là các số thực không âm thỏa mãn abcabc . Chứng minh rằng 222 abcabc .
Trang 4 Lời giải Nếu tồn tại một trong ba số ,,abc bằng 0 thì điều cần chứng minh đúng. Do đó chúng ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp ,,0abc . Giả sử ngược lại 222abcabc . Khi đó 2abcaabc . Tương tự ,bcacab . Do đó 222abcabcabbccaabc (mâu thuẫn). Do đó ta có đpcm. Câu 6. (HSG11 Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1abc . Chứng m1nh rằng 3bccaab abc abc   . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2bcbcbc aaa   . Tương tự ta được 2;2cacaabab bcbc   . Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 2bccaabbccaab abcabc     . Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lạ1 có 22bccabcca c abab . Áp dụng tương tự ta được 2;2caababbc ab bcca . Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được bccaab abc abc . Do đó ta suy ra 2bccaababc abc   . Ta cần chứng m1nh được 233abcabcabc . Đánh g1á cuố1 cùng là một đánh g1á đúng theo bất đẳng thức Cauchy và g1ả th1ết 1abc . Bà1 toán được g1ả1 quyết xong. Dấu bằng xảy ra kh1 và chỉ kh1 1abc . Câu 7. (HSG11 ChuyênDHĐB Bắc Bộ năm 2018-2019)Cho 3 số thực dương ,,abc . Chứng minh rằng: (2)(2)(2) 0 111 aabcbbcaccab abbcca    . Lời giải