Title CHUYÊN ĐỀ 2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG.doc ✅

CHUYÊN ĐỀ 2 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG I. Hệ thức lượng trong tam giác vuông II. Tỉ số lượng giác của góc nhọn Một số tính chất của các tỉ số lượng giác  Cho hai góc , phụ nhau. Khi đó: sincos;cossin; tancot;cottan.  Cho góc nhọn  . Ta có: 0sin1;0cos1; 22sincos1;tan.cot1; sincos tan;cot. cossin    III. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông 1. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Các bài toán tính toán Phương pháp giải Từ giả thiết, xem xét các yếu tố đã biết có mối liên hệ gì với các yếu tố cần tính, gắn các yếu tố này vào các tam giác vuông phù hợp. Từ đó sử dụng các hệ thức giữa cạnh và đường cao, giữa cạnh và góc, tỉ số lượng giác trong tam giác vuông đó để tính toán. Bài tập mẫu Ví dụ 1: Tính x và y trong hình sau, biết tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.
 Giải chi tiết Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có: 22 .108(8)4,5.ACCHCBxx Lại có 22.4,5(84,5)7,5.ABBHBCyy Vậy 4,5x và 7,5.y Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có 6ABcm và 5 tan 12B . Tính ,.ACBC  Giải chi tiết: Theo định nghĩa, tanAC B AB nên từ giả thiết ta có: 5 2,5. 612 AC ACcm Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại A ta có: 22222 62,542,256,5.BCABACBCcm Vậy 2,5ACcm và 6,5.BCcm Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các tỉ số lượng giác của góc B biết 5,3.BCcmABcm  Giải chi tiết Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC ta có: 222222 534.BCABACACACcm Theo định nghĩa: 43 sin;cosB; 55 ACAB B BCBC 43 tan;cot. 34 ACAB BB ABAC Ví dụ 4: Tính chu vi và diện tích hình thang cân ABCD biết hai cạnh đáy 12,18,ABcmCDcm  75.ADC  Giải chi tiết  Diện tích hình thang được tính bởi công thức 1 (). 2ShABCD (Trong đó: h là chiều cao của hình thang). Đối với bài tập này, chúng ta đã biết độ dài hai cạnh đáy. Do vậy, ta cần tìm chiều cao. Kẻ ,.AHCDBKCD Do ABCD là hình thang cân nên 12;HKABcm 3. 2 CDAB DHKCcm  Trong tam giác AHD vuông tại H ta có: tantan7511,196. 3 AHAH DAHcm DH Từ đó, 211 .().11,196.(1218)167,94. 22ABCDSAHABCDcm  Để tính chu vi hình thang, ta cần tính AD. Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ADH ta có: 222 134,35ADAHHD , suy ra 11,59.ADcm Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông ADH để tính AD.
Do đó, chu vi hình thang cân ABCD là: 1211,591811,5953,18.ABBCCDDAcm Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết 4 12,cos. 5ACcmC a) Giải tam giác ABC. b) Tính độ dài đường cao AH và đường phân giác AD của tam giác ABC.  Giải chi tiết a) Giải tam giác là tìm độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác đó. Ta có 412 cosBC15. 5 AC Ccm BCBC Áp dụng định lý Pitago ta có: 222 819.ABBCACABcm Sử dụng máy tính bỏ túi với 4 cos 5C ta được  37C . Tam giác ABC vuông tại A nên 9053.BC b) Từ hệ thức 222 111 AHABAC ta tính được 7,2.AHcm Theo tính chất đường phân giác: 15545 . 12977 BDDCBDDCBC BDcm ABACABACABAC    Lại có 2 .ABBCBH nên 2 5,4.AB BHcm BC Nhận xét thấy BDBH nên H nằm giữa B và D. Từ đó, ta có: 36 35HDBDBH . Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AHD ta có: 22222 7,21,0352,90097,27.ADAHHDADcm Vậy 7,2,7,27.AHcmADcm Dạng 2: Các bài toán chứng minh Phương pháp giải Các bài toán chứng minh điển hình sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông là bài toán chứng minh đẳng thức. Phương pháp chung để giải dạng toán này là sử dụng hệ hệ thức lượng, công thức diện tích, tỉ số lượng giác,…để biến đổi tương đương hai vế của đẳng thức về cùng một biểu thức khác, hoặc biến đổi các đại lượng ở vế này để làm xuất hiện các đại lượng ở vế kia. Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có  90A , đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB,AC. Chứng minh rằng: a) 2 2(1).ABHB ACHC b) 3..(2).DEBDCEBC  Giải chi tiết a) Từ đẳng thức cần chứng minh, ta sẽ biến đổi vế trái. Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A: 22 .,.ABBHBCACCHCB (đến đây đã xuất hiện HB, HC giống VP (1)).
Từ đó suy ra: 2 2 .BC . ABBHHB ACCHCBHC (đpcm). b) Dễ thấy tứ giác AEHD là hình chữ nhật nên ta có: .DEAH Áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có: 222 .,.AB,HC.CAAHBHCHHBBDCE 422 AH........BHCHBDABCECABDCEABAC Mặt khác ..ABACAHBC nên 4...AHBDCEAHBC hay 3DE..BDCEBC (đpcm). Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Chứng minh rằng 2222.HCHBACAB  Giải chi tiết Lưu ý rằng các hệ thức đã được nêu chỉ sử dụng cho tam giác vuông. Do vậy ở đây ta sẽ áp dụng cho hai tam giác AHB và AHC. Trong tam giác AHC ta có: 222.CHACAH (Pitago). Trong tam giác AHB ta có: 222BHABAH (Pitago). Từ đó: 2222.2222.CHBHACAHABAHACAB Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, BK. Chứng minh rằng 222 111 . 4BKBCAH Phân tích đề bài Đẳng thức cần chứng minh khiến ta nghĩ đến hệ thức liên hệ giữa hai cạnh góc vuông và đường cao của một tam giác vuông. Ở vế phải ta thấy xuất hiện 2242.AHAH Do đó ta dựng đoạn có độ dài 2AH.  Giải chi tiết Từ B kẻ đường thẳng song song với AH cắt tia CA tại M. Do tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao nên H là trung điểm của cạnh BC. Từ đó suy ra A là trung điểm của MC hay AH là đường trung bình của tam giác BMC. Do vậy 2.BMAH Lại có do MBAH∥ nên MBBC hay tam giác MBC vuông tại B. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MBC ta có: 22222 11111 4BKBMBCAHBC (đpcm). 2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tính x và y trong các hình sau: