Title Chương 5_Bài 17_Phương trình mặt cầu_Lời giải_Toán 12_KNTT.docx ✅

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1 BÀI 17: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ❶. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Định Nghĩa: Trong không gian Oxyz , mặt cầu S tâm /;;abc bán kính R có phương trình là: 2222 ()()().xaybzcR Chú ý: Điểm ;;Mxyz nằm trong mặt cầu S nếu 2222()()().xaybzcR Điểm ;;Mxyz nằm ngoài mặt cầu S nếu 2222()()(). xaybzcR Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có phương trình 222(1)(3)5xyz . a) Xác định tâm và bán kính của S . b) Hỏi gốc toạ độ 0;0;0O nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu S ? Lời giải a) Ta viét lại phương trình của mặt cầu (S) dưới dạng: 2222(1)[3](0)(5)xyz . Vậy mặt cầu S có tâm 1;3;0I và bán kính 5R . b) Ta có 22222(01)(03)(00)105OlR . Do đó, gốc toạ độ 0;0;0O nằm ngoài mặt cầu S . Luyện tập 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình 2 2219 (2) 24    xyz . a) Xác định tâm và bán kính của (S). b) Hỏi điểm M2;0;1 nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (S). Lời giải a) Mặt cầu S có tâm 1 2;0; 2    I và 3 2R b) Có 2 22373 40 22    IMR Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu S trong các trường hợp sau: a) Tâm 3 ;0;3 2    I , bán kính 9 4R . b) Đường kính AB , với 1;2;1A và 3;1;5B . Lời giải a) Mặt cầu S có tâm 3 ;0;3 2    I và có bán kinh 9 4R nên có phương trình: 222222239381 (0)(3) hay :(3) 24216    xyzSxyz
 BÀI GIẢNG TOÁN 12-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2 b) Đoạn thẳng AB có trung điểm là 3 2;;3 2   J . Mặt cầu S có tâm J và bán kính 2221121 (31)(12)(51) 222RAB . Do đó 222321 :(2)(3) 24    Sxyz . Luyện tập: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu S trong các trường hợp sau: a) Tâm là gốc tọa độ, bán kính 1R . b) Đường kính AB , với A1;1;2,B2;3;1 . Lời giải a) Mặt cầu S có tâm là gốc tọa độ, bán kính 1R có phương trình là: 222 1xyz b) Đoạn thẳng AB có trung điểm 31 ;2; 22    J Mặt cầu (S) có bán kính 2221114 (21)(31)(12) 222RAB Mặt cầu S có tâm 31 ;2; 22    J và 14 2R có phương trình là: 22 2317 (2) 222    xyz Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho S là tập hợp các điểm ;;Mxyz có tọa độ thoả mãn phương trình: 22224620xyzxyz . Chứng minh rằng S là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó. Lời giải Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng: 222 (S): 21446916xxyyzz Hay 2222:(1)(2)(3)4Sxyz Vậy S là mặt cầu có tâm 1;2;3I và bán kính 4R . Luyện tập 3: Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm M(x; y; z) có tọa độ thỏa mãn phương trình (S): x 2  + y 2  + z 2  – 4x + 6y – 12 = 0. Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó. Lời giải Ta viết phương trình mặt cầu (S) dưới dạng: x 2  + y 2  + z 2  – 4x + 6y – 12 = 0 ⇔ x 2  – 4x + 4 + y 2  + 6y + 9 + z 2  = 25 ⇔ (x – 2) 2  + (y + 3) 2  + z 2  = 25.
 BÀI GIẢNG TOÁN 12-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 3 Vậy (S) là mặt cầu có tâm I(2; −3; 0) và R = 5. Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó. a) 2222381000xyzxyz . b) 2223 4520 4xyzxyz . c) 222269100xyzxyyz . Lời giải a) Phương trình đã cho tương ứng với 3 1,,4,100 2abcd . Trong trường hợp này, 2229 1161000 4abcd . Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu. b) Phương trình đã cho tương ứng với 53 2,,1, 24abcd . Trong trường hợp này, 222253 41120 44abcd . Do đó phương trình đã cho là phương trình của mặt cầu có tâm 5 2;;1 2    I và bán kính 1223R . c) Phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu vì xuất hiện 2xy trong phương trình. Luyện tập 4: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có phương trình 22225 4560 4xyzxyz . Xác định tâm, tính bán kính của (S). Lời giải Từ phương trình trên ta có 5 2;;c3 2ab và 25 4d Phương trình mặt cầu (S) có tâm 5 2;;3 2    I , 2 22525 (2)(3)13 24    R . ➋. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG THỰC TIỂN Ví dụ 5: Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là ,(090∘∘NE , 090) thì có toạ độ coscos;cossin;sin∘∘∘∘∘M . Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí :10N,15E∘∘P đến vị trí :80N,70E∘∘Q . Lời giải Ta có cos10cos15;cos10sin15;sin10,cos80cos70;cos80sin70;sin80∘∘∘∘∘∘∘∘∘∘PQ Suy ra cos10cos15;cos10sin15;sin10,cos80cos70;cos80sin70;sin80∘∘∘∘∘∘∘∘∘∘→→OPOQ Do đó
 BÀI GIẢNG TOÁN 12-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 4  cos10cos15cos80cos70cos10sin15cos80sin70sin10sin80  0,2691   ∘∘∘∘∘∘∘∘∘∘→→ OPOQ Vì ,PQ thuộc mặt đất nên 1→→ OPOQ . Do đó  cos0,2691   →→ →→OPOQ POQ OPOQ . Suy ra  74,3893∘POQ . Mặt khác, đường tròn tâm O , đi qua ,PQ có bán kính 1 và chu vi là 26,2832 , nên cung nhỏ � PQ của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng 74,3893 6,28321,2983 360 . Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí ,PQ xấp xỉ bằng 1,298363718271,4693km . Luyện tập 5: Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí B:45N,30E∘∘ . Lời giải Vì A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo nên A1;0;0 . Do đó 1;0;0→ OA Điểm Bcos45cos30;cos45sin30;sin45∘∘∘∘∘ hay 622 ;; 442     B Suy ra 622 ;; 442     → OB Có 6 4→→ OAOB Vì A, B thuộc mặt đất nên 1→→ OAOB Do đó  cos0,6124   →→ →→OAOB AOB OAOB . Suy ra  52,2388∘AOB . Mặt khác, đường tròn tâm O đi qua ,AB có bán kính 1 và chu vi là 26,2832 , nên cung nhỏ � AB của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng 52,2388 6,28320,9117 360 . Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí ,AB xấp xỉ bằng 0,9117.63715808,4407 (km). B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 5.25: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình 2 221 (1)9 2    xyz . Xác định tâm và bán kính của S . Lời giải Mặt cầu S có tâm 1 ;1;0 2    I và R3 .