Title Chuyên đề 4_ Vectơ_Đề bài.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 4: VECTƠ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. KHÁI NIỆM VECTO 1. Cho đoạn thẳng AB . Nếu ta chọn điềm A làm điêm đầu, điểm B làm điểm cuối thì ta được đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B . Đoạn thẳng có định hướng AB được kí hiệu là AB và được gọi là vectơ AB . 2. - Vectơ có điểm đầu A , điểm cuối B được kí hiệu là AB , đọc là vectơ AB - Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ AB . - Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của vectơ AB và được kí hiệu là | | AB . Như vậy ta có: | | AB AB = . 3. Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là a b x y , , , , 4. Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị. 5. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 6. Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. 7. Ba điểm phân biệt A B C , , thẳng hàng khi và chi khi hai vectơ AB và AC cùng phương. 8. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a b = . 9. Hai vectơ a và b được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a b =− . Khi đó, vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ a . 10. Cho vectơ a và điểm O , ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho: OA a = . 11. Với một điểm A bất kì, ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A . Vectơ này được kí hiệu là AA và gọi là vecto-không. Ta kí hiệu vecto-không là 0 . Như vậy 0 = = = = AA BB CC với mọi điểm A B C , , , .  12. Vectơ-không có độ dài bằng 0 và cùng hướng với mọi vectơ.
II. CỘNG, TRỪ HAI VECTƠ 1. Quy tắc ba điểm Với ba điểm A B C , , , ta có: AB BC AC + = . 2. Quy tắc hình bình hành Nếu OABC là hình bình hành thì ta có OA OC OB + = . 3. Tính chất của phép cộng các vectơ - Tính chất giao hoán: a b b a + = + ; - Tính chất kết hợp: ( ) ( ) a b c a b c + + = + + ; - Với mọi vectơ a , ta luôn có: a a a + = + = 0 0 . 4. Hiệu của hai vectơ Cho hai vecto a và b . Hiệu của hai vectơ a và b là vectơ a b + −( ) và kí hiệu a b − . Chú ý: Cho ba điểm O A B , , như Hình 4, ta có OB OA AB − = . 5. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA MB + = 0. Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GC + + = 0. III. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ 1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất - Cho số k khác 0 và vectơ a khác 0 . Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là ka . Vectơ ka cùng hướng với a nếu k  0 , ngược hướng với a nếu k  0 và có độ dài bằng | |.| | k a . Quy ước: 0 0 a = và k0 0 = . - Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số thực h và k , ta có: - • ( ) ; •( ) ; • ( ) ( ) ; k a b ka kb h k a ha ka h ka hk a + = + + = + = - •1. ; •( 1) a a a a = −  = − . 2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương Hai vectơ a và b b( khác 0) cùng phương khi và chi khi có một số k sao cho a kb = . 3. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng Ba điểm phân biệt A B C , , thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB k AC = .
IV. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1. Góc giữa hai vectơ Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA a OB b = = , . Góc AOB với số đo từ 0  đến 180 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là ( , ) a b Nếu ( , ) 90 a b = thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a b ⊥ . Chú ý: - Từ định nghĩa ta có ( , ) ( , ) a b b a = . - Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0. - Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng 180 . - Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a hoặc b là vectơ 0 thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tuỳ ý (từ 0° đến 180 ). 2. Tích vô hướng của hai vectơ Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là ab. , được xác định bởi công thức: a b a b a b  =   | | | | cos( , ). Chú ý: - Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng 0 , ta quy ước a b = 0 . - Với hai vectơ a và b đều khác 0 , ta có a b a b ⊥   = 0 . -Khi a b = thì tích vô hướng a b được kí hiệu là 2 a và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a . Ta có 2 2 | | | | cos0 | |  a a a a =   = . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó. 3. Tính chất của tích vô hướng - Với ba vectơ a b c , , bất kì và mọi số k , ta có: • ; a b b a  =  • ( ) ; •( ) ( ) ( ) a b c a b a c ka b k a b a kb  + =  +   =  =  . - Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ, ta suy ra: - 2 2 2 2 2 2 •( ) 2 ; •( ) 2 a b a a b b a b a a b b + = +  + − = −  + - 2 2 •( ) ( ) a b a b a b +  − = − 4. Áp dụng của tích vô hướng