Title E2 - Parcial 2.pdf ✅

Examen FMI, Parcial 2 (sobre 5 puntos) 7. (0,5)Teniendo 25 libros distintos, de los cuales 12 son tebeos, 8 son enciclopedias y 5 son libros de autoayuda, determina las formas de colocarlos en una estanteria si todos los del mismo tipo van juntos. 8. (0,75)Teniendo una baraja española (40 cartas): a) Determina cuantas manos de 7 cartas hay. b) Determina cuantas de ellas tienen exactamente 2 cuatros. c)Determina cuantas tienen por lo menos 2 cuatros. 9. (1,25) a) Determina cuantos numeros entre 500 y 1400 (ambos inclusive) se pueden formar con todos los digitos pares. b) De los anteriores calcula cuantos empiezan o terminan por 8. c) Cuantos tienen exactamente 2 seises? d) Cuantos numeros entre 500 y 1400 (ambos inclusive) se pueden formar con todos los digitos pares y sin repetir? e) Cuantos de los anteriores son capicua? 10.(0,5) Da un ejemplo de relacion que sea reflexiva, nin simetrica, nin antisimetrica, e transitiva. 11. 11.(1) Teniendo el conjunto A={0,1,2,3,4,5,6,7} estudia las siguientes relaciones. Estudia si son transitivas, simetricas, antisimetricas o reflexivas. Determina si son relaciones de orden o de equivalencia. Si son de equivalencia, determina las clases de equivalencia. Si son de orden, dibuja el diagrama de Hasse. a) aRb ,si y solo si, ( ab >10 ) v ( a=b ) b) aRb, si y solo si, a ≡ b (mod 2) 12.(1) Dado la el conjunto parcialmente ordenado A={{0},{1,0},{3},{4,5},{1,2,3},{1,2,4,5}, {1,2,3,4,5}} y la relacion . ⊆ a) Dibuja el diagrama de Hasse. b) Determina los maximales y minimales, y calcula, si existen, el maximo y el minimo. c) Dado el subconjunto {{1,2,3},{1,2,4,5}} determina las cotas superiores e inferiores, y el supremo e infimo si existen. d) Dado el subconjunto {{0,1},{4,5}} determina las cotas superiores e inferiores, y el supremo e infimo si existen.
7) Se determinan las posibles colocaciones de los 3 grupos distintos. P3 = 3! = 6 colocaciones de los 3 grupos Se determinan las posibles colocaciones internas de cada grupo. P12 = 12! = 479001600 colocaciones de tebeos P8 = 8! = 40320 colocaciones de enciclopedias P5= 5! = 120 colocaciones de libros de autoayuda Se multiplican todas colocaciones 6*120*40320* 479001600 = 1`390560804864 * 1016 8) a) Se coje 7 de 40, no importa el orden, y no se pueden repetir. Se trata de una combinacion sin repeticion. C40,7 = 18643560 b) Se cojen 2 de 4 cuatros, y 5 de 36 cartas que no son cuatros. C4,2 * C36,5 = 6* 376992 = 2261952 c) Hay 2 opciones que teoricamente deberian servir ambas, pero dan distintos resultados, alguna de ellas es la buena. i) Por principio del complementario. Tiene al menos 2 cuatros = Totales- (Tiene 1 cuatro + No tiene cuatros) Tiene 1 cuatro = C4,1 * C36,6 = 4*1947792 = 7791168 Tiene 0 cuatros = C36,7 = 8347680 Resultado = 18643560 - ( 7791168 + 8347680 ) = 2504712 ii) Cojiendo 2 cuatros y no restrinjiendo las otras 5 cartas: C4,2 * C38,5 = 6* 501942 = 3011652 9. (1,25) a) No puede ser mayor que 999 ya q 1 no es par, entonces tendra 3 cifras, las cuales se pueden repetir. Hay 5 digitos pares, y para ser mayor que 500 la primera cifra debe restringirse a 6 u 8. Por regla del producto: Opciones cifra 1 * Opciones cifra 2 * Opciones cifra 3 2 * 5 * 5 = 50 opciones
b) Por principio de inclusion-exclusion: Opciones empieza por 8 + Opciones acaba por 8 - Opciones empieza y acaba por 8 Opciones empieza por 8 5 * 5 * 1 = 25 Opciones acaba por 8 2 * 5 * 1 = 10 Opciones empieza y acaba por 8 1 * 5 * 1= 5 25+10-5 = 30 c) Opciones no 6 en la cifra 1 + Opciones no 6 en la cifra 2 + Opciones no 6 en la cifra 3 1*1*4 + 1*4*1 + 1*1*1 = 4 + 4 + 1 = 9 d) 2 * 4 * 3 = 24 e) El numero tiene que ser de 3 cifras, por lo que tendra cifras repetidas, y el apartado anterior pide sin repetir, entonces es 0 10. R={ (a,a),(b,b),(c,c),(b,a),(b,c),(c,b),(c,a) } siendo R una relacion del conjunto A = { a , b , c }. Es reflexiva pq ∀ x ∈ A, (x,x) ∈ R No es simetrica pq (b,a) ∈ R pero (a,b) R ∉ No es antisimetrica pq (b,c) y (c,b) ∈ R pero b ≠ c Es transitiva pq x,y,z A, Si (x,y) y (y,z) R entonces (x,z) R ∀ ∈ ∈ ∈ 11. a) aRb ,si y solo si, ( ab >10 ) v ( a=b ) Es reflexiva pq ∀ x ∈ A, (x,x) ∈ R Es simetrica (hay q ir comprobando los casos, pero se cumple) No es antisimetrica pq (2,4) y (4,2) ∈ R pero 4 ≠ 2 No es transitiva pq (2,4) y (4,3) R pero (2,3) R ∈ ∉ Al no ser transitiva no es de orden ni de equivalencia b) aRb, si y solo si, a ≡ b (mod 2) Es reflexiva pq ∀ x ∈ A, (x,x) ∈ R (se cumple que a ≡ a (mod 2) ) Es simetrica pq se cumple que a ≡ a (mod 2) = b ≡ a (mod 2) No es antisimetrica pq (2,4) y (4,2) R pero 4 ≠ 2 ∈ Es transitiva pq si a ≡ b (mod 2) y b ≡ c (mod 2) entonces a ≡ c (mod 2) Al ser reflexiva, simetrica y transitica es una relacion de equivalencia, con las clases de equivalencia: [ 0 ]R = { 0 , 2 , 4 , 6 } = multiplos de 2, (tienen resto 0) [ 1 ]R = { 1 , 3 , 5 , 7 } = multiplos de 2 + 1 (tienen resto 1)
12) a) b) Maximales = {1,2,3,4,5} No existe maximo Minimales = {0} , {3} , {4,5} No existe minimo c) Cotas Superiores = {1,2,3,4,5} = Supremo Cotas Inferiores = Ø No existe Infimo d) Cotas Superiores = Ø No existe Supremo Cotas Inferiores = Ø No existe Infimo