Title 9-SBT-CD-CHƯƠNG 2-BẤT ĐẲNG THỨC, BPT BẬC NHẤT MỘT ẨN.docx ✅

CHƯƠNG II. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN $1. BẤT ĐẲNG THỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Nhắc lại về thứ tự trong tập hợp số thực Ta có các kết quả sau: Trên trục số nằm ngang, nếu số thực a nằm bên trái số thực b thì ab hay ba . -Tổng của hai số thực dương là số thực dương. Tổng của hai số thực âm là số thực âm. Với hai số thực ,ab , ta có: 0ab khi ,ab cùng dương hoặc cùng âm (hay ,ab cùng dấu) và ngược lại; 0ab khi ,ab trái dấu và ngược lại. Với mỗi số thực a , ta có 20a . Ngoài ra, 20a khi 0a và ngược lại. Với ,ab là hai số thực dương, nếu ab thì ab và ngược lại. Bất đẳng thức Khái niệm: Ta gọi hệ thức dạng ab (hay ,,ababab ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. Tính chất: Nếu ab thì acbc với mọi số thực c . Nếu ab thì acbc với 0c . Nếu ab thì acbc với 0c . Nếu ab và bc thì ac . B. VÍ DỤ Ví dụ 1: Chứng minh: a) 3131ba với ab ; b) 3243mn với 23mn ; c) 11 2 32pqqp với 32qp . Lời giải a) Xét hiệu: 31313333333babababa . Do ab nên 0ba hay 30ba . Vậy 31310ba hay 3131ba . b) Xét hiệu: 32433243321mnmnnm . Do 23mn nên 320nm hay 3210nm . Vậy 32430mn hay 3243mn . c) Xét hiệu: 11111 2223 32326pqqppqqppq    . Do 32qp nên 230pq hay 1 230 6pq . Vậy 11 20 32pqqp    hay 11 2 32pqqp . Ví dụ 2: Cho ,ab là hai số dương. Chứng minh: a) 2ab ba ; b) 3322ababab ;
c) 114 abab  d) 11 ab với ab . Lời giải a) Xét hiệu: 222 2() 2abababab baabab     . Với hai số ,ab dương, ta có: 2 ()0,0abab . Suy ra 2 () 0ab ab   . Vậy 20ab ba     hay 2ab ba . b) Xét hiệu: 332222ababababaabbabab 2222()abaabbabab Với hai số ,ab dương, ta có: 2()0ab và 0ab . Suy ra 2()0abab . Vậy 3322ababab . c) Xét hiệu:   4114babaabab abababab      222 2()ababab abababab    Với hai số ,ab dương, ta có: 2 ()0,0,0ababab . Suy ra  2 () 0ab abab    . Vậy 114 abab  . d) Xét hiệu: 11ba abab   . Do ab nên 0ba . Mặt khác, ta có 0ab với hai số ,ab dương tuỳ ý nên 0ba ab   với 0ab . Vậy 11 ab . Ví dụ 3: Chứng minh: a) 11 1617 1213 ; b) 11111 2.33.42022.20232023.20243⋯ ; c) 2021202220222021 2023202420242023    . Lời giải a) Do 1716 nên 1716 hay 1617 . Mặt khác, ta có 11 1213 nên 11 1617 1213 . b) Ta có: 1111 2334202220232023.2024 ⋯
32432023202220242023   23342022202320232024 11111111   23342022202320232024 111011  . 220242024         ⋯ ⋯ Mặt khác, ta lại có 11011 33033 và 10111011 20243033 nên 10111 20243 . Vậy 11111 233420222023202320243 ⋯ . c) Ta có: 2022202120212022 202420232024202320242023    . Mặt khác, ta lại có 2021202120222022 ; 202320242023202420242023  nên 2021202220212022 202320242024202320242023  Vậy 2021202220222021 2023202420242023    . Ví dụ 4: Cho ,,abc là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh 11 , abbc , 1 ca cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác. Lời giải Do ,,abc là độ dài ba cạnh của một tam giác nên 0,0,0abc và abc , ,bcacab . Ta có: 1111 ; ababcbcabc  nên 112 abbcabc  . Mặt khác, ta lại có cab nên 2abcac . Suy ra  22 2abcac  hay 21 abcac  . Do đó 111 abbcca  . Tương tự, ta chứng minh được 111 bccaab  và 111 caabbc  . Vậy 111 ,, abbcca là độ dài ba cạnh của một tam giác. Ví dụ 5: Cho các số ,,xyz thoả mãn 01,01,01xyz . Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: 10,25;10,25;10,25. xyyzzx Lời giải Giả sử cả ba bất đẳng thức đã cho đều đúng. Khi đó, ta có: 1110,250,250,25xyyzzx hay 1111#1 64xxyyzz
Ta xét: 22211111 12 24424xxxxxxx    . Với số x tuỳ ý, ta có 2 1 0 2x    hay 2 1 0 2x    , tức là 2 111 244x    . Suy ra 11 4xx . Tương tự, ta chứng minh được 111;1 44yyzz . Do đó 1111#2 64xxyyzz Từ (1) và (2), ta thấy giả thiết ban đầu là vô lí. Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức đã cho là sai. Ví dụ 6: Bảng 1 cho biết sản lượng lúa các vụ của nước ta trong năm 2021. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai? a) Tổng sản lượng lúa của cả ba vụ lớn hơn hai lần sản lượng lúa vụ đông xuân. b) Sản lượng lúa vụ mùa lớn hơn 70% sản lượng lúa vụ đông xuân. c) Tổng sản lượng lúa vụ hè thu và thu đông với sản lượng lúa vụ mùa lớn hơn sản lượng lúa vụ đông xuân. Lời giải Vụ lúa Sản lượng (triệu tấn) Đông xuân 20,63 Hè thu và thu đông 15,16 Mùa 8,06 Bảng 1 (Nguồn: Tổng cục Thống kê) a) Tổng sản lượng lúa của cả ba vụ là: 20,6315,168,0643,85 (triu tn). �� Hai lần sản lượng lúa vụ đông xuân là:  2 . 20,63 = 41,26 (triu tn). �� Do 43,85 > 41,26 nên tổng sản lượng lúa của cả ba vụ lớn hơn hai lần sản lượng lúa vụ đông xuân. Vậy phát biểu ở câu a là đúng. b) 70% sản lượng lúa vụ đông xuân là: 70%.20,6314,441 (triu tn). �� Do 8,0614,441 nên sản lượng lúa vụ mùa nhỏ hơn 70% sản lượng lúa vụ đông xuân. Vậy phát biểu ở câu b là sai. c) Tổng sản lượng lúa vụ hè thu và thu đông với sản lượng lúa vụ mùa là: 15,168,0623,22 (triu tn). �� Do 23,2220,63 nên tổng sản lượng lúa vụ hè thu và thu đông với sản lượng lúa vụ mùa lớn hơn sản lượng lúa vụ đông xuân. Vậy phát biểu ở câu c là đúng. C. BÀI TẬP Câu 1. Cho các số ,,,abcd đều khác 0 thoả mãn ab và cd . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào đúng? a) acbd . b) acbd . c) adbc . d) ab cd .