Title CHƯƠNG 2. ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

CHƯƠNG 2. HÌNH HỌC ĐƯỜNG TRÒN 1. Sự xác định đường tròn 2. Đường kính và dây của đường tròn 3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 4. Vị trí tương đối của hai đường tròn 2.1. Tóm tắt lý thuyết 2.1.1. Sự xác định đường tròn. a. Đường tròn Đường tròn tâm O bán kính R (R >0 )là tập hợp tất cả các điểm cách điểm O một khoảng bằng R. Ký hiệu là (O; R) hay (O) b. Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn Cho đường tròn (O; R) và điểm M.  M nằm trên đường tròn (O; R) OMRÛ=  M nằm trong đường tròn (O; R) OMRÛ<  M nằm ngoài đường tròn (O; R) OMRÛ> c. Cách xác định đường tròn.  Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.  Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác (hay còn gọi tam giác nội tiếp đường tròn).  Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực.  Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.  Nếu một tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính thì tam giác đó vuông. d. Tính chất đối xứng của đường tròn.  Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.  Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối đối xứng của đường tròn. 2.1.2. Đường kính và dây của đường tròn. a. So sánh độ dài của đường kính và dây. Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất. b. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây  Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.  Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. c. Định lý 1. Trong một đường tròn.  Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm,  Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. d. Định lý 2 Trong hai dây của đường tròn,  Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn,  Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. 2.1.3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn a. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
Cho đường tròn (O ; R) và đường thẳng  . Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d < R Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d = R Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d > R Khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm chung của đường thẳng và đường tròn được gọi là tiếp điểm. b. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.  Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.  Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn. c. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm  Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.  Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. d. Đường tròn nội tiếp tam giác.  Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.  Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác của các góc trong tam giác. e. Đường tròn bàng tiếp tam giác.  Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.  Có ba đường tròn bàng tiếp một tam giác.  Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong ˆA là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác ˆ A và đường phân giác góc ngoài tại B (hoặc C) 2.1.4. Vị trí tương đối của hai đường tròn. a. Tính chất đường tròn nối tâm.  Nếu hai đường tròn cắt nhau thì giao điểm đối xứng với nhau qua đường tròn nối tâm.  Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường tròn nối tâm. b. Vị trí tương đối của hai đường tròn. Cho hai đường tròn (O ; R) và ();Or¢ . Đặt OOd¢=
Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d với R và r Hai đường tròn cắt nhau. 2 RrdRr-<<+ Hai đường tròn tiếp xúc nhau:  Tiếp xúc ngoài  Tiếp xúc trong. 1 dRr=+ dRr=- Hai đường tròn không giao nhau:  Ở ngoài nhau  ()O đựng ()O¢ 0 dRr>+ dRr<- c. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn  Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.  Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.  Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm. 2.2. Bài tập có lời giải. 2.2.1. Chứng minh các điểm cùng nằm trên đường tròn. Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm AC và BD. a) Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó. b) Cho AB = 12cm, BC = 9cm. Tính bán kính đường tròn đó. Giải Ta có ABCD là hình chữ nhật, mà O là giao điểm của hai đường chéo nên 22 ACBD OAOBOCOD===== Vậy A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn (O; OA) Áp dụng định lý Py- ta- go cho ABC vuông tại B. 22222 12922515ACABBCAC=+=+=Þ=
15 22 AC OAÞ== Vậy bán kính đường tròn là 15 2 cm Bài 2. Cho hình thoi ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. M, N, P và S là hình chiếu của O trên AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P và S cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó. Giải Ta có ACBD^ tại O (tính chất đường chéo hình thoi ABCD) Áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông ,,,AOBBOCCODDOA với các đường cao OM, ON, OP, OS ta có: . ..OBOA OMABOBOAOM AB=Þ= Tương tự, ta được: .. ;;OBOCODOC ONOP BCDC== .ODOA OS AD= Do tính chất hình thoi, ta có: AB = BC = CD = DA; OB = OD; OA = OC. Nên OM = ON = OP = OS. Vậy bốn điểm M, N, R và S cùng thuộc đường tròn (O, OM). Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BH và CK. a) Chứng minh B, K, H và C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó. b) So sánh KH và BC. c) Gọi J là trung điểm của KH. Chứng minh: IJKH^ . Giải a) Gọi I là trung điểm của BC. Vì KCB vuông tại K, có KI là đường trung tuyến; BHC vuông tại H có HI là các đường trung tuyến. Do đó, ta có: 2 BC IKIHIBIC====