Title 2. PP Tổng và hiệu của 2 vecto-GV.pdf ✅

https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 BÀI 2: TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tổng của hai vectơ Định nghĩa: Phép cộng hai vectơ a và b là vectơ a b + , được xác định tùy theo vị trí của hai vectơ. Có 3 trường hợp. a b + nối đuôi a b + cùng điểm gốc a b + là hai vectơ bất kỳ a b + cộng theo Quy tắc 3 điểm a b + cộng theo Quy tắc hình bình hành a b + được cộng theo 2 trường hợp trên - Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ A B C , , ta có AB AC CB = + - Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành khi đó ta có AC AB AD DB DA DG  = +   = + và AB DC AD BC  =   = Tính chất: - Giao hoán: a b b a + = + - Kết hợp: a b c a c b + + = + + ( ) ( ) - Cộng với vectơ đối: a a + − = ( ) 0 - Cộng với vectơ không: a a a + = + = 0 0 2. Hiệu của hai vectơ Vectơ đối của vectơ a kí hiệu là - a . Đặc biệt a a + − = ( ) 0 Định nghĩa: Hiệu hai vectơ a và b là vectơ a b a b − = + −( ) Tính chất: +  − = a a a : 0 +  − = a a a : 0 + AB BA = − Quy tắc tam giác đối với hiệu hai vectơ Với ba điểm bất kì A B C , , ta có AB CB CA = − 3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác ✓ Điểm I là trung điểm của đoạn AB IA IB  + = 0 ✓ Điểm G là trọng tâm   + + = ABC GA GB GC 0 B –PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ - Chứng minh đẳng thức vectơ
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Phương pháp Áp dụng quy tắc 3 điểm, hình bình hành và tính chất Ví dụ 1: a) Cho bốn điểm A B C D , , , tùy ý. Tìm tổng của các vectơ u DC AB BD = + + b) Cho các điểm M N P Q R , , , , tùy ý Tìm tổng của các vectơ v MN PQ RN NP QR = + + + + Lời giải a) u DC AB BD DC AD AD DC AC = + + = + = + = b) Ta có v MN PQ RN NP QR = + + + + = + + + + = (MN NP PQ QR RN MN ) Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD . Chứng minh rằng: a) AB BC CD DA + + + = 0. b) AB CD AD CB + = + Lời giải a) Ta có ( ) ( ) 0. AB BC CD DA AB BC CD DA AC CA AA + + + = + + + = + = = b) Ta có 0 . AB CD AD DB CB BD AD CB DB BD AD CB DD AD CB AD CB + = + + + = + + + = + + = + + = + Ví dụ 3: Cho 6 điểm A B C D E F , , , , , . Chứng minh rằng: a) AB CD FA BC EF DE + + + + + = 0. b) AD BE CF AE BF CD + + = + + Lời giải a)Ta có: AB CD FA BC EF DE AB BC CD DE EF FA + + + + + = + + + + + = 0 b) Ta có: 0 . AD BE CF AE ED BF FE CD DF AE BF CD FE ED DF AE BF CD FD DF AE BF CD AE BF CD + + = + + + + + = + + + + + = + + + + = + + + = + + Ví dụ 4: Cho bốn điểm A B C D , , , bất kì. Chứng minh rằng: nếu AB CD = thì AC BD = . Lời giải a) Ta có: AC AB BC = + mà AB CD = nên AC CD BC BC CD BD = + = + = . Vậy AC BD =
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Chứng minh rằng a) AB CD + = 0 b) DO AO AB + = c) OA OB OC OD + + + = 0 d) Với M là điểm bất kì, hãy chứng minh MA MC MB MD + = + . e) Với E là điểm bất kì, hãy chứng minh AB CE AD AE + + = . Lời giải a) Ta có CD BA = . Do đó AB CD AB BA AA + = + = = 0. Vậy AB CD + = 0 b) Ta có DO OB = . Do đó DO AO OB AO AO OB AB + = + = + = . Vậy DO AO AB + = c) Ta có: Ví O là trung điểm của AC à BD nên OA OC OB OD + = + = 0; 0. Do đó OA OB OC OD OA OC OB OD + + + = + + + = + = ( ) ( ) 0 0 0. d) Ta có 0 . MA MC MB BA MD DC MB MD BA DC MB MD BA BA MB MD MB MD + = + + + = + + + = + + + = + + = + Vậy MA MC MB MD + = + . e) Ta có: AB AD AC + = . Do đó AB CE AD AB AD CE AC CE AE + + = + + = + = . Vậy AB CE AD AE + + = . Ví dụ 6: Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Chứng minh rằng a) OA OB OC OD OE OF + + + + + = 0. b) AB CD FE AD + + = . c) OA OC OB EB. Lời giải
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 a) Ta có: OA OB OC OD OE OF OA OD OB OE OC OF + + + + + = + + + + + = + + = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0.. Vậy OA OB OC OD OE OF + + + + + = 0 b) Ta có: AB CD FE AB BO FE AO OD AD + + = + + = + = .. Vậy AB CD FE AD + + = . c) Ta có OABC là hình bình hành. OA OC OB OA OC OB OB 2 . (1) O là trung điểm của EB EB OB 2 . (2) Từ (1) và (2) OA OC OB EB. Vậy OA OC OB EB. Ví dụ 7: Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . Chứng minh rằng: a) PB MC AN + = b) BM CN AP + + = 0 Lời giải a) T có: PB MC PB BM PM AN + = + = = . b) Vì PN , MN là đường trung bình của tam giác ABC nên PN BM // , MN BP // suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành  = BM PN . N là trung điểm của AC CN NA  = . Do đó theo quy tắc ba điểm ta có BM CN AP PN NA AP + + = + + ( ) = + = PA AP 0. P N M A B C