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Université Paris-Dauphine DUMI2E, Algèbre 1, 2008-2009 Applications (au strict minimum, les exercices précédés de (∗) et (∗∗) doivent avoir été faits à la maison avant les séances de TD qui seront indiquées par les chargés de TD). (∗) Exercice 1. Soient A = {0, 1, 2} et B = {0, 1}. Enumérer les applications de A dans B, puis les applications de B dans A. (∗) Exercice 2. Soit l’application f : R → R donnée par : pour tout réel x, f(x) = x 2 . Déterminer : a) f([−1, 1]), f([0, 3[), f(R) et f(R−); b) f([−2, 0] ∩ [0, 2]) et f([−2, 0]) ∩ f([0, 2]) (comparez !) ; c) f −1 ([0, 3[), f −1 ([−10, 3[) et f −1 (R−). (Tous TD) Exercice 3. Soit l’application g : R → R donnée par : pour tout réel x, g(x) = sin x. Sans justifier, donner : a) g([0, 2π]), g(R), g([0, 10[) et g([0, π 2 [); b) g −1 ([2, +∞[), g −1 (R), g −1 ([−1, 1]) et g −1 ([−1, 1[). (∗) Exercice 4. Les applications suivantes sont-elles bien définies ? Si oui, sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ? 1) f : {0, 1, 2} → {1, 8, −1, 24} telle que f(0) = −1, f(1) = 24, f(2) = 1. 2) f : Z → Z n 7→ −n 3) f : N → N n 7→ n + 1 4) f : N → N n 7→ n − 1 5) f : N → {−1, +1} qui à tout n de N associe 1 si n est pair, et −1 si n est impair. (∗) Exercice 5. Pour chacune des applications 1), 2), 3) et 5) de l’exercice précédent, calculer : f({2}), f({0, 2}), f −1 ({1}), f −1 ({−1, 1}). (∗) Exercice 6. Les applications suivantes sont elles-bien définies ? Si oui, sont-elles injectives, surjectives, bijectives ? 1) f1 : R → R x 7→ x 2 2) f2 : R → R+ x 7→ x 2 3) f3 : R+ → R x 7→ x 2 4) f4 : R+ → R+ x 7→ x 2 5) f5 : R+ → R− x 7→ x 2 Exercice 7. Même exercice pour les applications suivantes : 1) g1 : R → N x 7→ x 2 2) g2 : Z → N x 7→ x 2 3) g3 : N → R x 7→ x 2 4) g4 : R → N x 7→ x 2 (Tous TD) Exercice 8. Soient E et F de parties de E. Soit f : E → F une application. Soit y un réel. Expliquer (informellement) comment l’on trouve à partir du graphe de f les solutions dans E de l’équation f(x) = y. Comment lit-on sur le graphe de f que f est injective ? surjective ? bijective ? (Attention : ceci a pour but de vous faire comprendre les notions d’injectivité, de surjectivité et de bijectivité. Mais répondre lors d’un examen : "l’application f est injective car son graphe a telle propriété", sans prouver rigoureusement que le graphe a cette propriété, ne vous vaudra pas tous les points.) Exercice 9. Soit f une application de A vers B. Démontrer que A = S y∈B f −1 ({y}). (Tous TD) Exercice 10. Soit f une application de E vers F. Soient A et A′ des parties de E. Soient B et B′ des parties de F. Montrer que : a) f(A ∪ A′ ) = f(A) ∪ f(A′ ); b) f(A ∩ A′ ) ⊂ f(A) ∩ f(A′ ); c) f −1 (B ∪ B′ ) = f −1 (B) ∪ f −1 (B′ ); d) f −1 (B ∩ B′ ) = f −1 (B) ∩ f −1 (B′ ). Donner un exemple montrant que l’inclusion du b) peut être stricte. (Tous TD) Exercice 11. Soit f une application de E vers F. Soient A ⊂ E, B ⊂ F. Montrer que A ⊂ f(f −1 (A)) et B ⊂ f(f −1 (B)). Donner des exemples montrant qu’il n’y a pas en général égalité. 1