Title 010_Tuyển sinh 10_Toán Chuyên_mới_tỉnh_Bình Phước_25-26 (1).pdf ✅

Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN DỀ TOÁN BÌNH PHƯỚC 2025 SMP-CQT Ngày 7 tháng 6 năm 2025 Bài toán 1. (2,0 điểm) Cho 2 3 2 : 1 2 2 2 a a a a a M a a a a a a     + − − − = − +         + − − − − − , Với a a   0, 4 a) Rút gọn biểu thức M . b) Chứng minh rằng 1 7 M  HƯỚNG DẪN CHẤM a) Với a a   0, 4 , ta có: ( )( ) ( )( ) 2 3 2 : 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 a a a a a M a a a a a a a a a a a a a a a a     + − − − = − +         + − − − − − + − − − =  = + − + + + + b) Theo yêu cầu bài toán thì: ( ) 2 1 1 ( 3) 0 2 7 7 2 a a a a a a − −    + + + + Điều trên là hiển nhiên nên ta có điều phải chứng minh Nhận xét 1.1 - Bài toán này dường như năm nào cũng có và xuất hiện ở mọi đề thi toán của tỉnh nhà. Câu b biến đổi tương đương đơn giản nhưng sē là một ý khó nếu đề yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của M , khi đó ta sẽ có hai hướng xử lý: • Tham số hóa bài toán: Chú ý rằng a a + +  2 0 . Ta giả sử 1 P m  1 1 2 2 a a a m a m a a m −    + +  − + +  + − + +  a m a m (1 2 0 ) Từ đây ta xét bất phương trình bậc hai ẩn x là ( ) ( ) 2 x m x m + − + + = 1 2 0 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 0 2 2 2 1 1 2 0 2 2 m m m x x m m m x m − − −      +   + − + +              − −     + + + −      Ta chỉ cần 2 1 2 0 2 m m   − + −      , xét 2 1 2 0 2 m m   − + − =     Từ đó giải phương trình ta được m = 7 . Như vậy ta tìm được giá trị lớn nhất của M là 1 7 . • Dùng điều kiện của tam thức bậc hai. Ta có ( ) 1 2 1 2 a M M a a a a a − =  + + = − + +

x x x x + + − = + − − 3 2 4 3 2 5 ( )( ) Bình phương hai vế ta có: ( )( ) ( )( ) 2  + + − + + − = + − − x x x x x x 3 2 2 3 2 (4 3 2 5) Đặt y x x y = + −  ( 3 2 , 0 )( ) thì ta được: 2 2 5 (4 5) t t + = − 2 2  − + =  − + = 16 42 20 0 8 21 10 t t t t Dễ dàng giải được 5 2 V 8 x x = = . Từ đây thế ngược lại là được. c) Cách 3: (Trục căn thức) Ta dễ dàng dự đoán được hai nghiệm là 1 và -2 . Viết lại phương trình thành: ( )( ) 1 5 1 4 3 2 4 3 2 8 3 3 3 3 x x x x x x     − + −  + + − −  + = + − −         Việc còn lại đơn giản nên xin nhường bạn đọc. c) Điều kiện: x y x y    + 1, 0, 2 1 . Từ phương trình thức nhất ta có: xy y y x x xy y x y y x + − − − − =  + − − = 1 0 1 0 ( )( ) Từ điều kiện ta có x y +  0 nên phải có 2 y x y x = −  = − 1 1 . Thay vào phương trình thứ hai và thu gọn ta được: ( ) ( ) 4 3 2 2 3 y y y y y y y y y 4 4 2 2 ( 2 ) 1 0 − + = −  − − − =     Từ đó ta giải được y = + 0;2;1 2 , và suy ra x Vậy ( x y; 1;0 , 5;2 , 4 2 2;1 2 ) = + + ( ) ( ) ( ) Nhận xét 2.1 - • Thoạt đầu nhìn vô ta sẽ thực hiện hạ bậc biểu thức 4 1 x , tuy nhiên việc làm này khá rườm rà và phức tạp nên ta cần một hướng đi khác rõ ràng hơn. Để ý rằng theo hệ thức Vi-ét ta có: 2 2 2 2 x mx m m = − − 2 nên ta sẽ thay ngược trở vào đề bài. Nếu người ra để nhân phân tích trên ra và chuyển vế thì bài toán sẽ trở nên thực sự thử thách cho thí sinh tham dự kì thi. • Bài phương trình vô tỷ này có khá nhiều hướng tiếp cận và không quá "rườm rà" khi biến đổi nhưng đủ để kiểm tra kiến thức của thí sinh dự thi. Nhìn chung bài toán này không khó nhưng cần tinh ý đề phát hiện ra điểm mấu chốt của bài toán. • Ở ý hệ đều là kĩ thuật nhóm tích không quá phức tạp. Duy về vấn đề giải phương trình sau khi tìm ra mối quan hệ x y, gây nhiều khó khăn, thí sinh phải tinh ý nhận ra điểm chung thì mới có thể kết thúc bài toán. Bài tập tương tự: Luyện tập 2.2. Cho phương trình 2 x mx m − + − = 2 4 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, thỏa mãn: 3 3 1 2 x x + = 26 m . Luyện tập 2.3. Cho phương trình ( ) 2 2 x m x m − − + − = 2 1 3 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2 x x, sao cho 2 1 1 2 1 x x x mx + + − = 4 2 2 1 . Luyện tập 2.4. Giải phương trình sau 2 2 3 4 9 2 2 4 1 x x x x x + + + + = + + + . Luyện tập 2.5. Giải phương trình: 2 8 1 3 2 3 2 2 3 12 x x x x + + − = − − + . Luyện tập 2.6. Luyện tập 2.7. Giải phương trình: ( )( ) 2 2 ( ) 2 1 2 1 2 3 2 1 4 x y x y x y y x  −  + + + =   + + = −  .