Title Chương 5_Bài 2_ _Đề bài_Toán 12_CD.docx ✅

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. Phương trình đường thẳng 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Cho đường thẳng  và vectơ u→ khác 0→ . Vectơ u→ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của u→ song song hoặc trùng với  . Nhận xét: Nếu u→ là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì 0kuk→ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. Ví dụ 1. Trong Hình 23, các vectơ ,ABCD →→ và AB→ có là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB hay không? Vì sao? Lời giải Do vectơ AB → khác 0→ và có giá là đường thẳng AB nên vectơ AB → là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB . Do các vectơ ,CDAB→→ khác 0→ và có giá lần lượt là các đường thẳng ,CDAB song song với đường thẳng AB nên hai vectơ đó đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB . 2. Phương trình tham số của đường thẳng Hệ phương trình 0 0 0 xxat yybt zzct       , trong đó ,,abc không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng  đi qua 0000;;Mxyz và có vectơ chỉ phương ;;uabc→ . Ví dụ 2. a) Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm 2;1;4A và có vectơ chỉ phương 3;4;5u→ .
b) Cho đường thẳng  có phương trình tham số là: 12 57 9 xt yt zt       ( t là tham số). Chỉ ra tọa độ một vectở chỉ phương của  và một điểm thuộc đường thẳng  . Lời giải a) Phương trình tham số của đường thẳng  là: 23 14 45 xt yt zt       ( t là tham số) b) Tọa độ của một vectơ chỉ phương  là 2;7;9u→ . Ứng với 0t ta có: 12.01 57.05 9.00 x y z       Suy ra điểm 1;5;0B thuộc đường thẳng  . 3. Phương trình chính tắc của đường thẳng Nếu 0abc thì hệ phương trình 000xxyyzz abc   được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua 0000;;Mxyz và có vectơ chỉ phương ;;uabc→ . Ví dụ 3. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm 1;3;6A và có vectơ chỉ phương 9;2;13u→ . Lời giải Phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm 1;3;6A và có vectơ chỉ phương 9;2;13u→ là: 136 9213 xyz  4. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước Đường thẳng  đi qua hai điểm 000111;;,;;AxyzBxyz có: - Phương trình tham số là:    010 010 010 xxxxt yyyyt zzzzt       ( t là tham số). - Phương trình chính tắc là: 000 101010 xxyyzz xxyyzz    (với 010101,,xxyyzz ). Ví dụ 4. Lập phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng AB biết 4;1;2A và 5;8;6B
Lời giải - Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: 412412 . 548162174 xyzxyz   - Phương trình tham số của đường thẳng AB là: 4 17 ( là tham sô). 24 xt ytt zt       II. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 2121//,uu→→ cùng phương và 112,uMM→→ không cùng phương 12 112 ,0 ,0 uu uMM       →→→ →→ → 1 cắt 221,uu→→ không cùng phương và 1212,,uuMM→→→ đồng phẳng   12 1212 ,0 ,.0. uu uuMM      →→→ → →→ 1 và 2 chéo nhau 1212,.0uuMM→→→ . Ví dụ 5. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng 12, trong mỗi trường hợp sau: a) 12 1122 12 15210 :2,:42 3214 xtxt ytyt ztzt       ; b) 12 234212 :,: 321213 xyzxyz   ; c) 12 63 312 :,:82 112 1 xt xyz yt zt        . Lời giải a) Đường thẳng 1 đi qua điểm 11;2;3M và có 15;1;2u→ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng 2 đi qua điểm 22;4;1M và có 210;2;4u→ là vectơ chỉ phương. Ta có: 12210;2;4uu→→ , suy ra 12,uu →→ cùng phương; 121;2;2MM→ và 12 51  nên 112,uMM →→ không cùng phương. Vậy 12// . b) Đường thẳng 1 đi qua điểm 12;3;4M và có 13;2;1u→ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng 2 đi qua điểm 22;1;2M và có 22;1;3u→ là vectơ chỉ phương. Ta có: 21 32 , suy ra 12,uu →→ không cùng phương; 12122113324;2;6,,;;7;11;1 133221MMuu      →→→
Do 1212,.7.411.21.60uuMM  →→→ nên 1212,,uuMM →→→ đồng phẳng. Vậy 1 cắt 2 . c) Đường thẳng 1 đi qua điểm 13;1;2M và có 11;1;2u→ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng 2 đi qua điểm 26;8;1M và có 23;2;1u→ là vectở chỉ phương. Ta có: 1212122111(9;7;3),,;;3;7;5 211332MMuu      →→→ Do 1212,.3.97.75.370uuMM  →→→ nên 1212,,uuMM → →→ không đồng phẳng. Vậy 1 và 2 chéo nhau. III. Góc 1. Góc giữa hai đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 và 2 có vectớ chỉ phương lần lượt là 11112222;;,;;uabcuabc→→ . Khi đó, ta có: 12121212 222222 111222 cos, . aabbcc abcabc    Nhận xét: 121212120aabbcc . Ví dụ 6. Tính góc giữa hai đường thẳng 12, biết: 12 112212 143 :23 và :5, là tham sô). 36 xtxt ytyttt zz          Lời giải Hai đường thẳng 1 và 2 có vectơ chỉ phương lần lượt là 11;3;0u→ , 23;1;0u→ . Ta có:  12222222 1.33.10.0 233 cos,. 42 130.310    Suy ra 12,30 . Ví dụ 7. Cho hai đường thẳng 12 1123 :,:. 321121 xyzxyz   Chứng minh rằng 12 . Lời giải Đường thẳng 1 và 2 có vectơ chỉ phương lần lượt là 123;2;1,1;2;1uu→→ . Ta có: 123.12.21.10.uu→→ . Suy ra 12 . 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng