Title 05. Dinamica sistemelor cu 1GLD VF armonice si arbitrare 2024.pdf ✅

1 5|Dinamica sistemelor cu 1GLD. Vibratii fortate. Determinarea prin analiza a raspunsului dinamic al structurilor in regimul vibratoriu fortat (intretinut) reprezinta preocuparea primordiala in practica curenta de proiectare structurala. Cursul prezinta bazele teoretice si metodele practice de determinare a raspunsului fortat al sistemelor dinamice cu 1GLD, la incarcari armonice si arbitrare. Sunt prezentate aspectele legate de efectele diferitilor parametri asupra comportarii dinamice sub incarcari armonice. Este discutata problematica proiectarii structurale in concept dinamic si sunt prezentate bazele teoretice si practice ale analizei bazate pe forte statice echivalente- instrumentul de baza in analiza standardizata de raspuns structural. 5.1. Aspecte fundamentale, formularea generala a ecuatiei de miscare Vibraţiile forţate (întreţinute) reprezintă vibraţiile sistemului în prezenţa acţiunii dinamice. Studiul vibraţiilor forţate reprezintă interesul major din punct de vedere al proiectării structurale precum şi pentru identificarea caracteristicilor dinamice proprii ale sistemului, prin instrumentare vibratorie. Regimul vibratoriu fortat furnizeaza parametrii de raspuns necesari pentru dimensionarea si verificarea elementelor structurale, si pentru verificarea comportarii de ansamblu a structurii. Fortele perturbatoare armonice modeleaza in general actiuni asupra structurilor industriale (de exemplu echipamente rotative industriale), pot reprezenta functii de testare in laborator sau componente armonice ale incarcarilor arbitrare descompuse in domeniul frecventelor. Raspunsul dinamic rezulta prin rezolvarea ecuatiei de miscare a sistemului cu 1GLD cu comportare liniar-elastica, descrisa prin intermediul ecuatiei diferentiale ordinare, de ordinul al II-lea, cu coeficienti constanti, neomogena (a se revedea Cursul 3) mẍ+ cẋ + kx = F(t) (5.1) unde, m reprezinta coeficientul de inertie (masa sistemului), c reprezinta coeficientul de amortizare, k este coeficientul de rigiditate iar F este forta perturbatoare. Forta perturbatoare poate avea orice forma (armonica, periodica sau arbitrara) si orice forma de manifestare asupra structurii (directa sau indirecta). Marimile cinematice de raspuns ẍ, ẋ si x rezulta prin integrarea ecuatiei diferentiale a miscarii. In cazul in care actiunea dinamica are expresie analitica, solutia va fi de asemenea, functie analitica “exacta”. Daca insa actiunea dinamica este arbitrara/aleatoare, solutia analitica nu mai este disponibila. Determinarea raspunsului necesita utilizarea de metode numerice de integrare a ecuatiei diferentiale a miscarii (Clough si Penzien, 1994; Chopra, 2001; Chapra si Canale, 1988). Integrarea numerica este insa valabila pentru toate cazurile de incarcare dinamica, fiind abordarea utilizata de algoritmii incorporati in platformele software de calcul automat.
2 5.2. Raspunsul dinamic indus de forte perturbatoare armonice O forta perturbatoare armonica simpla, descrisa in Cursul 2, este de forma F(t) = F0sin (θt) (5.2) unde, F0 este amplitudinea maxima a fortei iar θ reprezinta pulsatia proprie a acesteia (Figura 5.1). F0 modeleaza intensitatea incarcarii iar θ introduce rapiditatea cu care aceasta se exercita asupra structurii, perioada sau frecventa fortei fiind parametri alternativi de descriere. Figura 5.1- Variatie temporala a fortei perturbatoare sinusoidale Observatie: Trebuie făcută distincţia clară in aceasta etapa, între caracteristica oscilatorie a forţei perturbatoare (pulsaţie/perioada/frecventa) şi caracteristica dinamica proprie a sistemului (pulsaţie/perioada/frecventa). Raspunsul dinamic va depinde esentialmente de legatura dintre cele doua seturi de parametri, amplitudinea maxima a fortei precum si caracteristica de amortizare a structurii fiind de asemenea parametri importanti. Ecuatia de miscare a sistemului cu 1GLD devine mẍ+ cẋ + kx = F0sin (θt) (5.3) iar prin impartire la coeficientul de inertie m, aceasta capata forma ẍ+ 2ζωẋ + ω 2x = F0 m sin(θt) (5.4) unde, ω = √k⁄m reprezinta pulsatia proprie de vibratie a sistemului (frecventa circulara) iar ζ este fractiunea din amortizarea critica a sistemului dinamic. Importanta studiului vibratiilor produse de forte perturbatoare armonice rezida in urmatoarele considerente: (i) reprezinta termenul de referinta in studiul vibratiilor fortate ale sistemelor dinamice la orice tip de actiune dinamica; (ii) prezinta cu claritate, intr-o formulare exacta, contributia si ponderea fiecarui parametru (actiune sau sistem) in raspunsul dinamic global; (iii) reprezinta termenul “exact” de validare a algoritmilor numerici de analiza; (iv) actiunile generate de echipamente rotative, pot fi modelate ca semnale armonice (Meirovitch, 1975; Bachmann si Ammann, 1987; Figura 5.2) 2π/θ 2π/θ 2π/θ
3 Figura 5.2- Echipament rotativ amplasat pe structura In Figura 5.2, me reprezinta masa excentrica rotativa, r reprezinta excentricitatea masei in raport cu originea, iar θ este viteza unghiulara a masei; v este viteza liniara a masei iar F este forta centripeta generata de rotatia masei excentrice. (v) orice actiune periodica sau aleatoare poate fi descompusa intr-o suma de functii armonice simple, avand caracteristici de amplitudine, frecventa circulara si faza, diferite (a se revedea Cursul 2); raspunsul dinamic al sistemelor cu comportare liniara, supuse acestor tipuri de incarcari, poate fi obtinut prin superpozitia efectelor individuale iar influenta fiecarei componente armonice in raspunsul total este evidentiata cu claritate. Proiectarea dinamica structurala are la baza aceasta observatie; (vi) rezultatele obtinute in cazul actiunii perturbatoare armonice directe, pot fi extinse si la cazul vibratiilor armonice induse de miscarea miscarea bazei de rezemare, utilizate alaturi de cazul incarcarii armonice directe, pentru identificarea in laborator sau in- situu a caracteristicilor dinamice structurale (Allemang si Brown, 1995). (a)Vibraţiile forţate ale sistemelor cu amortizare sub-critică (c < ccr = 2mω; ζ < 1) Solutia generala a ecuatiei de miscare (5.3) este de forma x = xo + xpn (5.5) alcatuita din solutia ecuatiei omogene- xo, la care se adauga o solutie particulara a ecuatiei neomogene- xpn . Prin urmare, solutia omogena este furnizata de ecuatia generala a vibratiilor libere si anume xo: mẍ+ cẋ + kx = 0 (5.6) de unde rezulta expresia generala a solutiei ecuatiei omogene (a se revedea Cursul 4) xo = e −ζωt[C1 cos(ω ∗ t) + C2 sin(ω ∗ t)] (5.7) C1 si C2 fiind constante de integrare, dependente de conditiile initiale ale miscarii in vibratii fortate, de regula nule. Expresia fortei perturbatoare poate fi rescrisa in forma generala, pe baza relatiei lui Euler, astfel F(t) = F0e iθt = F0 cos(θt) + iF0sin (θt) (5.8) echipament
4 retinandu-se la final doar termenul care corespunde componentei perturbatoare considerate, sin sau cos; in relatia (5.8), i este operatorul imaginar. Solutia particulara a ecuatiei neomogene este de forma termenului liber si anume xpn = Ce iθt (5.9) C fiind constanta nenula de integrare. Solutia trebuie sa satisfaca ecuatia de miscare adica, xpn: mẍpn + cẋpn + kxpn = F0e iθt (5.10) Prin derivarea succesiva a deplasarii (5.9) in raport cu variabila timp- t, rezulta viteza si acceleratia si anume ẋpn = iθCe iθt (5.11a) ẍpn = (iθ) 2Ce iθt = −θ 2Ce iθt (5.11b) Inlocuind expresiile cinematice in ecuatia generala a miscarii (5.10) se obtine (−mθ 2 + ciθ + k)Ce iθt = F0e iθt (5.12) si dezvoltand succesiv, rezulta constanta de integrare C si anume C = F0 −mθ2+ciθ+k = F0 k 1 1− mθ2 mω2+i cθ mω2 = F0 k 1 1− θ2 ω2+i2ζ θ ω = F0 k 1− θ 2 ω2−i2ζ θ ω (1− θ ω ) 2 +(2ζ θ ω ) 2 = Δst 1 √(1− θ ω ) 2 +(2ζ θ ω ) 2 e −iφ∗ = Δst 1 √(1−β2) 2+(2ζβ) 2 e −iφ∗ (5.13) unde, β = θ/ω (notatie, parametru adimensional) exprima raportul pulsatiilor proprii ale fortei, respectiv a sistemului dinamic. In relatia (5.13) Δst = F0 k (5.14a) reprezinta deplasarea statica produsa pe directia gradului de libertate dinamica, de amplitudinea maxima a fortei- F0, aplicata static, si μ ∗ = 1 √(1−β2) 2+(2ζβ) 2 (5.14b) reprezinta factorul de amplificare dinamică a deplasării. Rezulta, revenind in relatia (5.9), ca xpn = Δstμ ∗e i(θt−φ∗ ) (5.15) unde, φ ∗ = arctg ( 2ζβ 1−β2 ) (5.16) Retinand doar termenul in sin in (5.15), asociat functiei perturbatoare considerate, rezulta xpn = Δstμ ∗ sin (θt − φ ∗ ) (5.17)