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FSSM MARRAKECH SMP-3 TDs + CORRIGES ANALYSE NUMERIQUE 2020-2021 http://saborpcmath.com/ SMPC SMAI CPGE ENSA,M FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire PAR WHATSAPP :06-26-45-09-23 PHYSIQUE : MATH : INFORMATIQUE : CHIMIE : Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74
Faculté des Sciences Semlalia Année universitaire 2020-2021 Département de Physique Marrakech Travaux dirigés Algorithmique-Analyse numérique (SMP-S3) Série No 1 Exercice-1: Soient les points (x= 0, f(x)=1),(x=0,5,f(x) =1,6487) et (x=1,f(x) = 2,7183). Trouver une valeur approchée de f(0,25) par la méthode d’interpolation linéaire et par la méthode d’interpolation quadratique. Sachant que x )x(f = e , calculer dans chaque cas, l’erreur commise en x=0,25 et conclure. Exercice-2: Soient les points (xi ,f(xi)) donnés par le tableau : xi 0 0,5 1 2 f(xi) 0 y 3 2 Soit P3(x) le polynôme d’interpolation de Lagrange qui passe par ces points. Trouver la valeur de y sachant que le cœfficient a3 du polynôme P3(x) est égal à 6. Déduire la valeur approchée de f(0,2). Exercice-3: Soient les points (xi ,f(xi)) donnés par le tableau: xi 1 1.5 2 f(xi) 0,000 0,6082 1,3863 1) Trouver le polynôme d’interpolation de Lagrange qui passe par les points donnés. 2) Trouver une valeur approchée de f(1,75). Sachant que )x(f = lnx x , donner une majoration de l’erreur commise en x =1,75. Exercice-4: Soient les points (xi ,f(xi)) donnés par le tableau : xi -1 1 3 4 f(xi) 2 -4 46 99,5 1) En utilisant l’interpolation de Newton, trouver le polynôme, P3(x), qui passe par ces points. 2) Evaluer f(0,5). Exercice-5: Soit )x(f = sin(π )x . On pose x0 = 0 et x1=1/2. 1) Calculer une approximation de sin(π/4) par interpolation de f aux points d’abscisses x0, x1. 2) On pose x2 =1/6. Calculer une approximation de sin(π/4) par interpolation de f aux points x0, x1 et x2.
Exercice-6: Déterminer l’équation de la droite qui s’ajuste le mieux aux mesures expérimentales données par le tableau suivant: xi 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 yi 54,00 48,80 45,30 40,10 35,00 32,30 27,50 Exercice-7 : Soient les données expérimentales (xi ,f(xi)) présentées par le tableau suivant: xi 0 0,405 0,560 0,693 0,916 f(xi) 0,696 0,899 0,976 1,043 1,154 1) Calculer les coefficients de la droite (droite des moindres carrés) qui s’ajuste le mieux à ces mesures. 2) Trouver une valeur approchée de f au point d'abscisse x=0,6. 3) La relation liant la période T à la longueur L d’un pendule simple est donnée par : β T = α L (1) Où α et β sont des paramètres à déterminer en utilisant la méthode des moindres carrés. On suppose que les mesures du tableau ci-dessus représentent la variation de la période T(s) d’un pendule simple en fonction de sa longueur L (cm) où on a considéré f(xi)=ln(Ti) et xi=ln(Li). a) En utilisant les résultats trouvés à la question 1) et l’équation (1) (avec un changement de variable convenable), déduire les valeurs de α et β . b) Sachant que g 2π α = , avec g est l’accélération de la pesanteur exprimée en m/s2 . Déduire la valeur de g. Exercice-8: Un projectile est lancé dans le vide, au moyen d’une fusée faisant un angle α ( ° α p 90 ) avec l’horizontale. Un radar a enregistré les positions du projectile sur sa trajectoire, elles sont données par le tableau suivant : xi 1 2 3 4 yi 3 6 7 6 Sachant que la trajectoire est de la forme parabolique : 1 0 2 2 y = a x + xa + a En utilisant la méthode des moindres carrés, déterminer l’équation de la trajectoire.
Faculté des Sciences Semlalia Année universitaire 2020-2021 Département de Physique Marrakech Travaux dirigés Algorithmique-Analyse numérique (SMP-S3) TD1- Correction des exercices 1 , 2, 3, 4 et 5 A) Polynôme d’interpolation de Lagrange (méthode de Lagrange) Exercice-1 : On a le tableau des points (xi ,f(xi)): xi 0 0,5 1 f(xi) 1,0000 1,6487 2,7183 Tableau-1 a)L’interpolation linéaire (n=1): (on cherche P1(x) qui passe par deux points consécutifs : (xi , f(xi)) et (xi+1,f(xi+1)) ) Puisque on veut évaluer f(0,25) ( x = 25,0 ∈[ 5,0,0 ]), donc on cherche la droite (i.e. le polynôme de degré 1: P1(x)=a0+a1x) qui passe par les deux points consécutifs par (x0=0,f(x0)=1) et (x1=0,5,f(x1)=1,6487). On obtient un nouveau tableau de données: xi 0 0,5 f(xi) 1,0000 1,6487 On a (n+1)=2 points ⇒ n = 1 En utilisant l’interpolation de Lagrange, on peut écrire: )x(P )x(L)x(f x(f L) )x( L)x(f )x( 0 0 1 1 1n 0i 1 = ∑ i i = + = = )x(L L1 )x( ,1 6487 = 0 + 1 (1) Où les Li(x) sont les polynômes de Lagrange et sont donnés par: x2 1 0 5,0 x 5,0 x( )x x( )x L )x( 0 1 1 0 = − + − − = − − = x2 5,0 0 x 0 x( x ) x( x ) )x(L 1 0 0 1 = − − = − − = L’eq.1 ⇒ )x(P ( x2 )1 ,1 6487 )x2( 1 = − + + Donc, le polynôme de degré 1 (i.e. la droite) s’écrit : 1 )x(P = 1+ ,1 2974x (Les cœfficients du polynôme P1 sont: 1 a0 = et a1 = ,1 2974 ) Donc, la valeur approchée de f(0,25) est: )25,0(f ≈ 1 )25,0(P = ,1 3243 L’erreur, e, commise en x=0,25, avec x )x(f = e , est donnée par: ,0 0403 ,1 2840 ,1 3243 e ,1 3243 e )25,0(f )25,0(P 25,0 1 = − = − = − = − (L’erreur absolue est: e = ,0 0403 ) Remarque : L’erreur en xi est donnée par : ei = i )x(f − n i )x(P