Title Chuyên đề 6. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

CHƯƠNG II: Đường tròn Chuyên đề 6. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN A. Kiến thức cần nhớ 1. Cách xác định đường tròn Một đường tròn được xác định khi: • Biết tâm và bán kính. • Biết một đoạn thẳng là đường kính. • Biết ba điểm của nó: Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. Tâm của đường tròn này là giao điểm các đường trung trực của ABC 2. Tam giác nội tiếp. Đường tròn ngoại tiếp tam giác • Đường tròn ()O đi qua ba đỉnh của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, còn tam giác ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn ()O . • Tam giác ABC nội tiếp đường tròn ()O ; - Nếu BC là đường kính thì 90A ; - Nếu 90A thì BC là đường kính (h.6.2). 3. Tâm đối xứng. Trục đối xứng Đường tròn có tâm đối xứng và trục đối xứng. Tâm đối xứng là tâm của đường tròn. Trục đối xứng là bất kì đường kính nào của đường tròn. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh rằng: a) Bốn đỉnh của một hình chữ nhật cùng nằm trên một đường tròn; b) Bốn đỉnh của một hình thang cân cùng nằm trên một đường tròn. Giải a) Trong hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo bằng nhau vừa cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên OAOBOCOD . Bốn đỉnh A, B, C, D cách đều điểm O nên chúng nằm trên đường tròn (O;OA) . Nhận xét: Bốn đỉnh của một hình chữ nhật cùng nằm trên một đường tròn có tâm là giao điểm của hai đường chéo. b) Vẽ các đường trung trực của AB và BC chúng cắt nhau tại O. Vì ABCD là hình thang cân nên đường trung trực của AB cũng là đường trung trực của CD. Ta có: OAOB (vì O nằm trên đường trung trực của AB). OBOC (vì O nằm trên đường trung trực của BC). OCOD (vì O nằm trên đường trung trực của CD). Suy ra OAOBOCOD , do đó bốn đỉnh A, B, C, D của hình thang cân cùng nằm trên một đường tròn. Nhận xét: Phương pháp chung để chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn trong ví dụ này là chứng minh các điểm đó cùng cách đều một điểm. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ điểm D đối xứng với A qua BC, điểm E đối xứng với A qua trung điểm O của BC. Chứng minh rằng 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. Giải Tam giác ABC vuông tại A nên ba điểm A, B, C cùng nằm trên đường tròn ()O đường kính BC. Điểm D đối xứng với A qua đường kính BC nên D nằm trên đường tròn đường kính BC. Điểm E đối xứng với A qua tâm O của đường tròn nên E nằm trên đường tròn ()O .
Tóm lại, cả 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn ()O . Ví dụ 3. Cho đường tròn ()O đường kính AB và dây AC. Trên tia AC lấy một điểm M sao cho C là trung điểm của AM. Chứng minh rằng khi điểm C di động trên đường tròn ()O thì điểm M nằm trên một đường tròn cố định. Giải Xét ABC có AB là đường kính của đường tròn ()O nên 90ACB . Xét ABM có BC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ABM cân tại B. Suy ra BMBA (không đổi). Vậy điểm M nằm trên đường tròn (;)BBA . Đó là một đường tròn cố định. Nhận xét: Phương trình chứng minh một điểm nằm trên một đường tròn là chứng minh điểm đó cách một điểm cố định một khoảng không đổi. Ví dụ 4. Cho đường tròn ()O và một điểm K cố định ở ngòai đường tròn. Đường thẳng KO cắt đường tròn tại A và B (A nằm giữa K và B). Gọi M là một điểm bất kì trên đường tròn. Chứng minh rằng KAKMKB . Giải Điểm K nằm ngoài đường tròn, điểm M nằm trên đường tròn OKOM . • Xét ba điểm M, K, O ta có: KMMOOK . Suy ra KMOKOM KMOKOA (vì OAOM ). Do đó KMKA (1) (dấu “=” xảy ra khi MA ). • Xét ba điểm M, O, K ta có: ;KMOKOMKMOKOB (vì OBOM ). Do đó KMKB (2) (dấu “=” xảy ra khi MB ). Từ (1) và (2) ta được KAKMKB Nhận xét: Trong các đoạn thẳng nối K với một điểm của đường tròn thì KA là đoạn thẳng ngắn nhất; KB là đoạn thẳng dài nhất. Ví dụ 5. Cho tam giác ABC. Vẽ đường tròn đi qua A, B và có tâm D nằm trên đường thẳng AC. Vẽ đường tròn đi qua A, C và có tâm nằm trên đường thẳng AB. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Chứng minh rằng OADE . Giải Đường tròn ()D đi qua A và B nên: DADB (1) Đường tròn ()O đi qua A và B nên: OAOB (2) Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng OD là đường trung trực của AB, do đó ODAB . Chứng minh tương tự ta đựợc OE là đường trung trực của AC. Xét ADE có O là giao điểm của hai đường cao nên O là trực tâm, suy ra OADE . Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này dựa vào tính chất: Tâm của đường tròn đi qua hai điểm A, B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ví dụ 6. Cho đường tròn (;)OR và 10 điểm bất kì 1210,,...,MMM . Chứng minh rằng tồn tại một điểm A trên đường tròn sao cho 1210...10AMAMAMR . Giải Vẽ đường kính CD. Ta có 2CDR . Xét ba điểm 1M , C, D ta có: 112CMDMCDR . Tương tự, 222CMDMCDR … 10102CMDMCDR . Cộng từng vế các bất đẳng thức ta được 12101210(...)(...)20CMCMCMDMDMDMR . • Nếu 1210...10CMCMCMR thì điểm A cần tìm là điểm C.
• Nếu 1210...10CMCMCMR thì 1210...DM10DMDMR . Khi đó điểm A cần tìm là điểm D. C. Bài tập vận dụng • Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn 6.1. Cho năm điểm A, B, C, D, E. Biết rằng qua bốn điểm A, B, C, D có thể vẽ được một đường tròn, qua bốn điểm B, C, D, E cũng vẽ được một đường tròn. Chứng minh rằng cả năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. 6.2. Cho tứ giác ABCD có 90CD . Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểm E, F, G, H cùng nằm trên một đường tròn. 6.3. Cho đường tròn (;)OR và một điểm A ở ngòai đường tròn. Lấy bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn ()O . Trên các tia AM, AN, AP, AQ lần lượt lấy các điểm ,,,MNPQ sao cho M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của ,,,AMANAPAQ . Chứng minh rằng bốn điểm ,,,MNPQ cùng nằm trên một đường tròn. 6.4. Cho hình thoi ABCD, 60A . Gọi E, F,G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng 6 điểm B, D, E, F, G, H cùng thuộc một đường tròn. 6.5. Cho hình chữ nhật ABCD, ,()ABaBCbab . Gọi H là hình chiếu của D trên AC và K là hình chiếu của C trên BD. a) Chứng minh rằng bốn điểm C, D, H, K cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi M là trung điểm của AB, tìm điều kiện của a và b để 5 điểm C, D, H, K và M cùng thuộc một đường tròn. 6.6. Cho tam giác ABC. Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm M, P, K, J cùng thuộc một đường tròn; b) Sáu điểm M, P, K, J, I, N cùng thuộc một đường tròn; c) Chín điểm M, P, K, J, I, N, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. • Chứng minh một điểm thuộc một đường tròn cố định 6.7. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định, đường trung tuyến 1,5BMcm . Chứng minh rằng điểm A thuộc một đường tròn cố định. 6.8. Cho đường tròn (;3)Ocm . Lấy điểm A bất kì trên đường tròn. Qua A vẽ tia AxOA . Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB4cm . Gọi H là hình chiếu của A trên OB. Chứng minh rằng H thuộc một đường tròn cố định. 6.9. Cho đoạn thẳng AB4cm . Trên AB lấy điểm C sao cho AC1cm . Vẽ tia Cx, trên đó lấy điểm M sao cho AMCABM . Chứng minh rằng điểm M thuộc một đường tròn cố định. • Dựng đường tròn 6.10. Dựng đường tròn đi qua hai điểm A và B cho trước và có tâm nằm trên đường thẳng d cho trước. 6.11. Cho đường thẳng d và một điểm A cách d là 1cm. Dựng đường tròn ()O có bán kính 1,5cm đi qua A và có tâm nằm trên đường thẳng d. • Các dạng khác 6.12. Cho tam giác ABC. Trên tia BC lấy điểm M, trên tia CB lấy điểm N sao cho ,BMBACNCA . Vẽ đường tròn ()O ngoại tiếp tam gác AMN. Chứng minh rằng tia AO là tia phân giác của góc BAC. 6.13. Cho hình thoi ABCD cạnh 1. Gọi 1R và 2R lần lượt là bán kính đừơng tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ABC. Chứng minh rằng 2222 12124RRRR . 6.14. Cho 6 đường tròn cùng đi qua một điểm A. Chứng minh rằng có một hình tròn chứa tâm của một hình tròn khác. 6.15. Cho 99 điểm sao cho trong ba điểm bất kì nào cũng tồn tại hai điểm có khỏang cách nhỏ hơn 1. Chứng mình rằng trong các điểm đã cho có ít nhất 50 điểm nằm trong một đường tròn có bán kính bằng 1. 6.16. Đố. Hai người chơi một trò chơi như sau: Mỗi người lần lượt đặt một đồng xu lên một tấm bìa hình tròn. Người cuối cùng đặt được đồng xu lên tấm bìa là người thắng cuộc. Muốn chắc thắng thì phải chơi như thế nào? (Các đồng xu đều như nhau và không chồng lên nhau).
6.17. Cho đường tròn (;3)O . Lấy sáu điểm ở bên trong đường tròn, không có điểm nào trùng với O và không có hai điểm nào thuộc cùng một bán kính. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm trong 6 điểm đó có khỏang cách nhỏ hơn 3. 6.18. Cho sáu điểm thuộc một hình tròn (;)Or , các điểm này không có điểm nào trùng với O. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm trong sáu điểm ấy có khỏang cách nhỏ hơn hoặc bằng r. 6.19. Cho bảy điểm thuộc một hình tròn (;)Or trong đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì không nhỏ hơn r. Chứng minh rằng một trong bảy điểm đó trùng với tâm của hình tròn. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 6.1. Đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D và đường tròn qua bốn điểm B, C, D, E có ba điểm chung và B, C, D nên chúng phải trùng nhau. Vậy năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. 6.2. Xét ABD có EF là đường trung bình Suy ra //EFAD và 2 AD EF . Chứng minh tương tự ta đựơc: //HGAD và 2 AD HG . Vậy //EFHG và EFHG . Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành. Ta có ;FGDBCDHGCADC (cặp góc đồng vị). Do đó 90FGDHGCBCDADC , dẫn tới 90FGH . Hình bình hành EFGH có 90G nên là hình chữ nhật. Suy ra bốn điểm E, F, G, H cùng nằm trên một đường tròn. 6.3. Trên tia AO lấy điểm O sao cho O là trung điểm của AO . Xét AOM có OM là đường trung bình nên 22OMOMR . Chứng minh tương tự ta được: 2ONOPOQR Vậy bốn điểm ,,,MNPQ cùng thuộc đường tròn (;2)OR . 6.4. Vì ABCD là hình thoi nên ACBD (tại O) và AC là đường phân giác của góc A. Do đó  1230AA . Đặt độ dài mỗi cạnh của hình thoi là a. Xét các tam giác AOB, AOD vuông tại O có:  1230AA nên 2 a OBOD . Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có: 2 a OEOFOGOH . Vậy 2 a OBODOEOFOGOH . Suy ra 6 điểm B, D, E, F, G, H cùng thuộc một đường tròn ; 2 a O   với O là giao điểm hai đường chéo hình thoi. 6.5. a) Gọi O là trung điểm của CD. Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có: 2 a OHOKOCOD .