Title Chuong 5_Bài 4_ _CTST_Đề bài.pdf ✅

BÀI 4. TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Góc giữa hai vectơ Cho hai vectơ a và b đều khác 0  . Từ một điểm O bất kì ta vẽ  ,      OA a OB b . Góc AOB với số đo từ 0  đến 180  được gọi là góc giữa hai vectơ a và b . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là ( , )  a b . Nếu ( , ) 90    a b thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là   a b . Chú ý: - Tử định nghĩa ta có ( , )  ( , )     a b b a . - Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0  luôn bằng 0  . - Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0  luôn bằng 180  . - Trong trường hợp có it nhất một trong hai vectơ a hoặc b là vectơ 0  thi ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tuỳ ý (từ 0  đến 180  ). 2. Tích vô hướng của hai vecto' Cho hai vectơ a và b đều khác 0  . Tích vô hướng của a và b là một số, ki hiệu là   a b , được xác định bởi công thức:  | | | | cos( , )       a b a b a b . Chú ý: - Trường hợp it nhất một trong hai vectơ a và b bằng 0  , ta quy ước   0  a b . - Với hai vectơ a và b đều khác 0  , ta có     0     a b a b . - Khi   a b thi tich vô hướng   a b được ki hiệu là 2 a và được gọi là binh phrơng vô hiróng của vectơ a . Ta có 2 2 | | | | cos 0 | |          a a a a . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương đô dài của vectơ đó. 3. Tính chất của tích vô hướng - Với ba vectơ , ,    a b c bất kì và mọi số k , ta có: -    ;     a b b a (  )     ; •( )  (  )  ( )              a b c a b a c ka b k a b a kb . - Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ, ta suy ra: - 2 2 2 (  )   2         a b a a b b - 2 2 2 (  )   2         a b a a b b - 2 2 (  )(  )         a b a b a b .
4. Áp dụng của tích vô hướng Trong Vật li, tích vô hướng giúp tinh công Asinh bởi một lực F có độ dịch chuyển là vectơ d . Ta có công thức:     A F d . B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 1. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:  ,  ,  ,          AB AD AB AC AC CB AC BD Câu 2. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD  a, AB  2a . Tính: a)    AB AO b)    AB AD Câu 3. Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA  a,OB  b . Tính tích vô hướng    OA OB trong hai trường hợp: a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB ; b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB Câu 4. Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: 2 2        MA MB MO OA Câu 5. Một người dùng một lực F có độ lớn là 90N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100m. Biết lực hợp F với hướng dịch chuyển là một góc 60  . Tính công sinh bởi lực F Câu 6. Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 có tích vô hướng là 6. Tính góc giữa hai vectơ đó. C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích vô hướng 2 vectơ và xác định góc của hai vecto 1. Phương pháp giải. a) Để tính tích vô hướng của hai vectơ, ta có thể sử dụng: + Nếu có độ dài hai vectơ và góc giữa chúng, ta dùng định nghĩa a.b  a . b cosa,b       + Nếu là tích của tổng, hiệu các vectơ ta dùng tính chất của tích vô hướng + Nếu biết độ dài hai vectơ và độ dài của tổng hay hiệu của chúng, ta bình phương tổng hay hiệu của chúng + Nếu một vectơ cố định và một vectơ thay đổi ta có thể dùng định lý hình chiếu. b) Để tính góc của hai vectơ, ta sử dụng công thức:   . cos , . a b a b a b        2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a , tâm O . Hãy tính: a). AB.AC   b). AB.BC   c). OB  OC AB  AC     d). AB  2AC AB  3BC     Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O . Hãy tính: a). AB.BC; AB.BD;  AB  ADBD  BC; AB  AC  AD DA DB  DC              
b). ON.AB; NA.AB     với N là điểm trên cạnh BC . c). MA.MB  MC.MD     với M nằm trên đường tròn nội tiếp hình vuông. Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD có đáy lớn BC  3a , đáy nhỏ AD  a , đường cao AB  2a a). Tính AB.CD; BC.BD; AC.BD       b). Gọi I là trung điểm của CD . Hãy tính góc giữa AI và BD. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC đều cạnh a , đường cao AH . Tính: a). AB.AC; BA.AH     . b). CB CA2CA 3AH      Ví dụ 5: Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh bằng 7 , góc  0 BAC  60 . Tính: AB.AC; AB.OA; AC.BD; AB.OB         Ví dụ 6: Cho các vectơ a,b   có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện 2a  3b  3   . Tính cosa,b   . Ví dụ 7: Cho các vectơ a,b   có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai vectơ bằng 0 60 . Xác định cosin góc giữa hai vec tơ u  và v  với u  a  2b, v  a  b       . Ví dụ 8: Cho hai vectơ đơn vị a, b   thỏa mãn điều kiện 2a  b  3   . Tính a.b; a  b     Dạng 2: Toán thực tế Ví dụ 1. Tính công sinh bởi một lực F có độ lớn 20 N kéo một vật dịch chuyển theo một vectơ d có độ dài 50m và cho biết ( , ) 60     F d . Ví dụ 2. Tính công sinh bởi một lực F có độ lớn 60 N kéo một vật dịch chuyển một vectơ d có độ dài 200m. Cho biết ( , ) 60     F d . Ví dụ 3. Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 6 và 8 và có tích vô hướng là 24 . Tính góc giữa hai vectơ đó. Ví dụ 4. Cho ba điểm M , N, P . Nếu một lực F không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực F trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau? a) Chất điểm chuyển động theo đường gấp khúc từ M đến N rồi tiếp tục từ N đến P . b) Chất điểm chuyền động thẳng từ M đến P . Ví dụ 5. Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 650km / h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 35km / h . Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị km / h ). D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho và là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. . B. . C. . D. . Câu 2. Cho hai vectơ và khác . Xác định góc giữa hai vectơ và khi A. B. C. D. Câu 3. Cho hai vectơ và thỏa mãn và Xác định góc giữa hai vectơ và A. B. C. D. a  b  0  a.b = a . b     a.b = 0   a.b = -1   a.b = - a . b     a  b  0  a a  b  a.b = - a . b .     0 a =180 . 0 a = 0 . 0 a = 90 . 0 a = 45 . a  b  a = 3,  b = 2  a.b = -3.   a a  b.  0 a = 30 . 0 a = 45 . 0 a = 60 . 0 a =120 .
Câu 4. Cho hai vectơ và thỏa mãn và hai vectơ và vuông góc với nhau. Xác định góc giữa hai vectơ và A. B. C. D. Câu 5. Cho hai vectơ và . Đẳng thức nào sau đây sai? A. B. C. D. Câu 6. Cho tam giác đều có cạnh bằng Tính tích vô hướng A. B. C. D. Câu 7. Cho tam giác đều có cạnh bằng Tính tích vô hướng A. B. C. D. Câu 8. Cho tam giác vuông cân tại và có Tính A. B. C. D. Câu 9. Cho tam giác vuông tại và có Tính A. B. C. D. Câu 10. Cho tam giác có Tính A. B. C. D. Câu 11. Cho tam giác có Tính A. B. C. D. Câu 12. Cho tam giác có Gọi là trung điểm cạnh Tính A. B. C. D. Câu 13. Cho hình vuông cạnh Tính A. B. C. D. Câu 14. Cho hình vuông cạnh . Tính A. B. C. D. Câu 15. Cho hình vuông cạnh Tính a  b  a = b =1   2 3 5 u = a- b    v = a +b    a a  b.  0 a = 90 . 0 a =180 . 0 a = 60 . 0 a = 45 . a  b  2 2 1 2 . . 2 a b a b a b æ ö = ç + - - ÷ ç ÷ è ø       2 2 1 2 . . 2 a b a b a b æ ö = ç + - - ÷ ç ÷ è ø       1 2 2 . . 2 a b a b a b æ ö = ç + - - ÷ ç ÷ è ø       1 2 2 . . 4 a b a b a b æ ö = ç + - - ÷ ç ÷ è ø       ABC a. AB.AC.   2 AB.AC = 2a .   2 3 . . 2 a AB AC = -   2 . . 2 a AB AC = -   2 . . 2 a AB AC =   ABC a. AB.BC.   2 AB.BC = a .   2 3 . . 2 a AB BC =   2 . . 2 a AB BC = -   2 . . 2 a AB BC =   ABC A AB = AC = a. AB.BC.   2 AB.BC = -a .   2 AB.BC = a .   2 2 . . 2 a AB BC = -   2 2 . . 2 a AB BC =   ABC A AB = c, AC = b. BA.BC.   2 BA.BC = b .   2 BA.BC = c .   2 2 BA.BC = b +c .   2 2 BA.BC = b -c .   ABC AB = 2 cm, BC = 3 cm, CA = 5 cm. CA.CB.   CA.CB =13.   CA.CB =15.   CA.CB =17.   CA.CB =19.   ABC BC = a, CA = b, AB = c. P =(AB + AC).BC.    2 2 P = b -c . 2 2 . 2 c b P + = 2 2 2 . 3 c b a P + + = 2 2 2 . 2 c b a P + - = ABC BC = a, CA = b, AB = c. M BC. AM.BC.   2 2 . . 2 b c AM BC - =   2 2 . . 2 c b AM BC + =   2 2 2 . . 3 c b a AM BC + + =   2 2 2 . . 2 c b a AM BC + - =   ABCD a. AB.AC.   2 AB.AC = a .   2 AB.AC = a 2.   2 2 . . 2 AB AC = a   1 2 . . 2 AB AC = a   ABCD a P = AC.(CD +CA).    P = -1. 2 P = 3a . 2 P = -3a . 2 P = 2a . ABCD a. P =(AB + AC).(BC + BD + BA).     