Title CD- Đại số 11-Chương 3-Giới hạn. Hàm số liên tục-Bài 1-Giới hạn của dãy số-LỜI GIẢI-Trắc nghiệm.doc ✅

Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Trắc nghiệm theo chương trình 2025 của BGD Trang 1 CHƯƠNG 3 GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số a. Định nghĩa - Giới hạn dãy số có giới hạn 0 Dãy số nu có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu nu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim0 n n u . Chú ý: Ngoài kí hiệu lim0 n n u , ta cũng sử dụng các kí hiệu sau: lim0 nu hay 0 nu khi n . Nhận xét: Nếu nu ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì lim0 nu . - Giới hạn hữu hạn của dãy số Dãy số nu có giới hạn hữu hạn là số a khi n dần tới dương vô cực, nếu  lim0 n n ua , kí hiệu lim n n ua . Chú ý:  Ngoài kí hiệu lim n n ua , ta cũng sử dụng các kí hiệu sau: lim nua hay  nua khi n .  limcc , với c là hằng số.  Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.  Không phải dãy số nào cũng có giới hạn. b. Một số giới hạn cơ bản:  1 lim0 n , 1 lim0 k n với k là số nguyên dương cho trước.  lim0c n , lim0 k c n với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước.  Nếu 1q thì lim0nq  Dãy số nu với     1 1 n nu n có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e :     1 lim1 n e n Một giá trị gần đúng của e là 2,718281828459045 2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Trắc nghiệm theo chương trình 2025 của BGD Trang 2 a) Nếu lim; limnnuavb thì  limnnuvab  limnnuvab  lim..nnuvab  limn n ua vb ( 0b ) b) Nếu ℕ*0, nun và lim nua thì 0a và lim nua 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn 21 1111,,,...,,...nuuququq có công bội q thỏa mãn 1q được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là:    211 1111...... 1 nu Suuququq q 1q 4. Giới hạn vô cực của dãy số Định nghĩa về dãy số có giới hạn vô cực:  Ta nói dãy số nu có giới hạn là  khi n , nếu nu lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim n n u hay lim nu hay  nu khi n .  Ta nói dãy số nu có giới hạn là  khi n , nếu  lim n n u , kí hiệu lim n n u hay lim nu hay  nu khi n . Nhận xét:  ℤlim()knk  lim(1)nqq  Nếu lim; limnnuav (hoặc limnv ) thì lim0n n u v  Nếu lim0; lim0nnuav và 0nv với mọi n thì limn n u v  Nếu limlimnnuu . DẠNG 1
Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Trắc nghiệm theo chương trình 2025 của BGD Trang 3 TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Giới hạn hữu hạn và vô cùng  1 lim0() k n k n  ℤ  lim0n n q , với q là số thực thỏa mãn 1q  lim()knkℤ  lim(1)nqq  limnu khi và chỉ khi limnu  Nếu limnu hoặc limnu thì 1 lim0 nu  Nếu lim0nu và 0 nu với mọi n thì 1 lim nu  Nếu lim; limnnuav thì lim0n n u v  Nếu lim0; lim0nnuav thì :         lim.0 lim.0 n n n n n n u neáuav v u neáuav v  Nếu lim; limnnuva thì:        lim.0 lim.0 nn nn uvneáua uvneáua 2. Giới hạn vô định     (Dạng phân thức) - Khi tìm () lim () fn gn ta chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. - Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:  Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.  Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.  Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Trắc nghiệm theo chương trình 2025 của BGD Trang 4 3. Giới hạn vô định  Khi tìm lim()() kmfngn trong đó lim()lim()fngn ta thường nhân lượng liên hợp. Dạng này có 2 trường hợp:  Trường hợp 1: Nếu km thì ta nhân lượng liên hợp để khử căn.  Trường hợp 2: Nếu km thì ta cần tìm hằng số vắng để đưa về trường hợp 1 rồi sau đó mới nhân lượng liên hợp để khử căn. Chú ý: Các hằng đẳng thức dùng nhân lượng hợp: 3322333;ababababaabbab 4. Giới hạn của dãy số mà tổng là n số hạng đầu tiên của một dãy số khác  Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: 1 2 n n nuu S  ; 121 2n nund S   .  Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân: 1 1 . 1 n n q Su q     Để làm tốt các dạng bài tập này, cần nhớ một số tổng quen thuộc sau: 1 12... 2 nn n  222121 12... 6 nnn n  23331 12... 2 nn n    .