Title Покровский Никита Антонович АА-06 Производственная практика.docx ✅

Случайной величиной Х называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий Ω , которая каждому элементарному собыгию w ставит в соответствие число X(w), т.е. X = X(w), w ϵ Ω (или X = f(w)). Пример. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На ПЭС Ω = = {w,w2,w3,w4}, где w1 = ГГ, w2 = ГР, w3 = РГ, w4 = PP, можно рассмотреть с. в. Х - число появлений герба. С. в. Х является функцией от элементарного события w2: X(w1) = 2, X(w2) = 1, X(w3) = 1, X(w1) = 0; X -- д. с. в. со значениями = 0, x2 = 1, x3 = 2. Отметим, что если множество конечно или счетно, то случайной величиной является любая функция, определенная на 1. В общем случае функция X(w) должна быть такова, чтобы для любых х ϵ R событие A = {w : X(w) < x} принадлежало σ -алгебре множеств S и, значит, для любого такого события была определена вероятность P(A) = P(X < x). Для полного описания с. в. недостаточно лишь знания ее возможных значений; необходимо еще знать вероятности этих значений. Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий A ⊆ S (S - σ-алгебра событий пространства Ω), в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (или просто: распределением). Про с. в. говорят, что «она подчиняется данному закону распределения». 2.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения Пусть Х - д. с. в., которая принимает значения х1, X2, х3, , (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероятностью р1, где і = 1, 2,3, …,п,… Закон распределения д. с. в. удобно задавать с помощью формулы = P{X = x1}, 1 = 1,2,3,…,n,… определяющей вероятность того, что в результате опыта с. в. Х примет значение х2. Для д. с. в. Х закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения:

2.3. Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины Очевидно, ряд распределения с. в. может быть построен только для д. с. в.; для н. с. в. нельзя даже перечислить все ее возможные значения. Кроме того, как увидим позже (п. 2.3, 2.4), вероятность каждого отдельно взятого значения н. с. в. равна нулю! Представим себе вероятность того, что рост мужчины - н. с. в. - точно равен v3 = 1,7320508 … метров; куплснная нами лампа проработает - н.с. в. - ровно 900 часов; Удивительно интересный факт: событие возможное, но имеет нулевую вероятность. Для характеристики поведения н.с. в. целесообразно использовать вероятность события {X < x} (а не {X = x}), где х - некоторое действительное число. С точки зрения практики нас мало интересует событие, состоящее, например, в том, что лампочка проработает ровно 900 часов, т. е. X = 900. Более важным является событие вида {X < 900 (или {X > 900}). Такое событие имеет непулевую вероятность; при изменении х вероятность события {X < x} в общем случае будет меняться. Следовательно, вероятность P{X < х} является функцией от х. Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения, обозначаемая Fx(x) (или просто F(x), без индекса, если ясно, о какой с. в. идет речь). Функцией распределения с. в. Х называется функция F(x), которая для любого числа х € R равна вероятности события {X < x}. Таким образом, по определению F(x) = P{X < x} т.e. F(x) = P{w: X(w) < x}. (2.1) Функцию F(х) называют также интегральной дункцией распределения. Геометрически равенство (2.1) можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что с. в. Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т. е. случайная точка Х попадет в интервал (- ∞, х), см. рис. 18.