Title Chương 5_Bài 14_ Lời giải_Toán 9_KNTT.pdf ✅

BÀI 14. CUNG VÀ DÂY CỦA MỘT ĐƯỜNG TRÒN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. DÂY VÀ ĐƯỜNG KÍNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN Khái niệm dây và đường kính của đường tròn Đoạn thẳng nối hai điểm tuỳ ý của một đường tròn gọi là một dây (hay dây cung) của đường tròn. Mỗi dây đi qua tâm là một đường kính của đường tròn. Dễ thấy đường kính của đường tròn bán kính R có độ dài bẳng 2R . Trên Hình 5.6, CD là một dây, AB là một đường kính của O. Định lí: Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất. Ví dụ 1: Tứ giác lồi ABCD có BAC  BDC  90  . Chứng minh bốn điểm A, B,C, D cùng nằm trên một đường tròn và AD  BC . Lời giải Gọi O là trung điểm của đoạn BC . Tam giác ABC vuông tại ABAC  90   nên đường trung tuyến AO bằng nửa cạnh huyền, nghĩa là 2 BC OA  OB  OC  . Do đó điểm A nằm trên đường tròn O đường kính BC . Tương tự, bằng cách xét tam giác DBC ta cũng suy ra điểm D thuộc đường tròn O. Vậy AD là một dây (không đi qua tâm) của đường tròn (O). Áp dụng định lí trên ta có AD  BC . 2. GÓC Ở TÂM, CUNG VÀ SỐ ĐO CỦA MỘT CUNG Khái niệm góc ở tâm và cung tròn Cho hai điểm A và B cùng thuộc một đường tròn. Hai điểm ấy chia đường tròn thành hai phẩn, mỗi phần gọi là một cung tròn (hay cung). Hai điểm A và B gọi là hai mút (hay đầu mút) của mỗi cung đó. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn. Trên Hình 5.9 ta có hai cung, kí hiệu là AmB và AnB nhưng chỉ có một góc ở tâm là AOB .
Chú ý: Khi góc AOB không bẹt thì cung nằm trong góc AOB gọi là cung nhỏ (trên Hình 5.9, AmB là cung nhỏ). Khi đó AmB còn có thể kí hiệu gọn là AB . Cung còn lại, AnB gọi là cung lớn. Khi góc AOB bẹt thì mỗi cung AB được gọi là một nửa đường tròn. Ta còn nói góc AOB chắn cung AB hay cung AB bị chắn bởi góc AOB . Ví dụ 2: Cho ba điểm A, B và C thuộc đường tròn O như Hình 5.10. a) Tìm các góc ở tâm có hai cạnh đi qua hai trong ba điểm A, B,C . b) Tìm các cung có hai mút là hai trong ba điểm A, B,C . Lời giải a) Các góc ở tâm cần tìm là AOB, BOC và COA. b) - Các cung có hai mút A, B là AB,ACB . Các cung có hai mút A,C là AC,ABC . Các cung có hai mút B,C là BAC, BaC . Cách xác định số đo của một cung 1. Số đo của một cung được xác định như sau: Số đo của nửa đường tròn bằng 180  . Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360  và số đo của cung nhỏ có chung hai mút. 2. Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ AB. Trên Hình 5.9, ta có:sđAmB AOB ; sđAnB  360 .  Chú ý: Cung có số đo n  còn gọi là cung n  . Cả đường tròn được coi là cung 360  . Đôi khi ta cũng coi một điểm là cung 0  .
Hai cung trên một đường tròn gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo. Nhận xét Nếu A là một điểm thuộc cung BAC thì sđ sdBAC  sđBA sđAC (H.5.10). Ví dụ 3: Tính số đo của các cung có các đẩu mút là hai trong các điểm A, B,C trong Hình 5.11 , biết rằng ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A . Lời giải Trên Hình 5.11, ta thấy AB và AC là các cung nhỏ bị chắn bởi các góc ở tâm thứ tự là AOB và AOC. Do tam giác ABC vuông cân tại A nên đường trung tuyến AO cũng là đường cao, tức là AO  BC . Do đó AOB AOC  90  , suy ra sđ  sđ 90 o AB  AC  . ACB là cung lớn có chung hai mút A, B với cung nhỏ AB nên sđACB  360  sđAB  360  90  270 .     Tương tự, ta có: sđABC  360  sđ AC  360  90  270     . Ngoài ra còn có hai nửa đường tròn có chung hai mút A và B , có số đo bẳng 180  . B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 5.5. Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M tuỳ ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ M dến AB không lớn hơn 2 AB . Lời giải Gọi H là hình chiếu của M trên AB . Khi đó khoảng cách từ M đến AB bằng độ dài đoạn MH . Xét tam giác MHO vuông tại H có: MH  MO . Lại có 2 AB OM  (do AB là đường kính, OM là bán kính của đường tròn O ). Vậy 2 AB MH  5.6. Cho đường tròn O;5 cm và AB là một dây bất kì của đường tròn đó. Biết AB  6 cm . a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB .
b) Tính tan  nếu góc ở tâm chắn cung AB bằng 2 . Lời giải a) Gọi H là trung điểm của AB. Suy ra   6 3 cm 2 2 AB AH    . Xét OAH và OBH có: OA  OB  R ; Cạnh OH chung; HA  HB (do H là trung điểm của AB ) Do đó OAH OBH (c.c.c). Suy ra OHA  OHB (hai góc tương ứng) Mà OHA và OHB là hai góc bù nhau nên OHA OHB 180  hay 2OHB 180  Suy ra OHA  OHB  90  nên OH  AB. Do đó khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng độ dài đoạn OH . Xét tam giác OAH vuông tại H có: 2 2 2 AH  OH  OA (định lý Pythagore) Hay 2 2 2 2 2 OH  OA  AH  5  3 16 . Nên OH  4cm . Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng 4cm . b) Theo giả thiết, góc ở tâm chắn cung AB là AOB  2 . Từ câu a) OAH OBH suy ra HOA  HOB (hai góc tương ứng). Lại có: HOA HOB AOB nên 2HOA  2 hay HOA  . Suy ra 3 tan 4 AH OH    . 5.7. Tâm O của một đường tròn cách dây AB của nó một khoảng 3 cm . Tính bán kính của đường tròn O, biết rằng cung nhỏ AB có số đo bằng 100  (làm tròn kết quả đến hàng phẩn mười). Lời giải Gọi H là trung điểm của AB. Theo giả thiết, góc ở tâm chắn cung AB là AOB 100   . Xét OAH và OBH có: OA  OB  R ; Cạnh OH chung; HA  HB (do H là trung điểm của AB ) Do đó OAH OBH (c.c.c). Suy ra HOA  HOB (hai góc tương ứng).