Title 1. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 10, 11.docx ✅

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN KHỐI 10 VÀ 11 CHỦ ĐỀ 01. BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1. 1. Cho x,y là các số thực dương sao cho 2x + y và 2y + x khác 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2222 22 ()(4)(2)(4) 3() (22)(22) xyxyyxyx Pxy xyxy    2. Cho a , b, c, > 0 sao cho a + b + c = 3. Chứng minh rằng 222 9 (1)(1)(1)(1)() abc bcacababcabcabbcca  (THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội) Lời giải 1. Ta sẽ chứng minh : 22 2 (2)(4)1 2 (22)2 xyxy xy xy    2 (2632)0xyxy (đúng). Chứng minh tương tự ta được: 1P . Vậy GTNN của P là -1 khi 965 4xy  hoặc 965 4xy 
2. Theo BĐT Cauchy-Schwartz thì 22 2 2 2 222 1111111 1111111(1) 3 () ()3 cyccyc cabcabca abc babc cabcabc abbcca abcabbccaabc            Một điều luôn đúng vì 290xy và 3270xy . Vậy BĐT được chứng minh, Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c = 1. Đặt ab + bc + ca = x , abc = y . BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta chứng minh được 2 332 2 23 9 927 3(1) (9)(27)0 x xxyxyy xyyxy xxyyxy    Bài 2 Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức 333()3kkkxyzxyz đúng với mọi số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện x + y + x = 3. (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp.HCM) Lời giải Dễ dàng tìm được các bộ số để BĐT không đúng với k = 1 và k =2. Nhận xét rằng nếu BĐT đúng với k = 3 thì BĐT sẽ đúng với mọi k > 3 vì 333333333333 ()().3.kkkkkkxyzxyzxyzxyzxyz Điều này gợi ý cho ta chứng minh rằng k = 3 là số nhỏ nhất cần tìm, bằng cách chứng minh. 333333 ()3.xyzxyz (1.1) Thật vậy, giả sử z là số nhỏ nhất trong ba số x , y , z suy ra 1z .Ta có 3332 ()3()(3)3(3)xyxyxyxyzxyz Khi đó: 3322 333 3 (1.1)(3)zzxyxy xyz 222 333 1 399zzxyxy xyz (1.2)
Để ý rằng: 33 22 3 333333 1 3xy xyxy xyzxyz Đồng thời: 3 233(1) 3990z zz zz   Nên (1.2) đúng, và BĐT ban đầu được chứng minh. Vậy k =3 là số nguyên dương nhỏ nhất để BĐT ban đầu đúng. Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1. Bài 3. Tìm tất cả các số thực k sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm a, b, c 2222222().ax(),(),() 3 abc abbccakmabbccaabc  (THPT chuyên Đại học Vinh) Lời giải Không mất tính tổng quát giả sử .abc Khi đó 2222max(),(),()()abbccaac Như vậy, ta sẽ tìm k sao cho : 2 2222() () 3 abc abbccakacabc  Cho c = 0, a = 2b ta được 11 . 42k  Ta sẽ chứng minh 2 2222() () 3 abc abbccakacabc  với mọi 11 . 42k  Ta có 2 222()11 ()()()(2)0 3412 abc abbccakackacacb  nên BĐT đầu tiên đúng . Đồng thời 2 222222()11 ()()()(2)0 326 abc kacabckacacb  nên BĐT thứ hai cũng đúng. Bài 4 1. Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh bất đẳng thức 222 1113 . (2)(2)(2)16xyzxyzxyz 
2. Cho x , y, z không âm và thỏa 2221xyz . Chứng minh bất đẳng thức 222 222 1113 (). 2111xyyzzx xyz      (Bà Rịa – Vũng Tàu) Lời giải Trước hết xin phát biểu không chứng minh một bổ bề quen thuộc. Bổ đề 1. Co x, y, z > 0. Khi đó 9()()()8()().xyyzzxxyzxyyzzx Trở lại bài toán. 1. Theo bất đẳng thức AM-GM , ta có 22 111 (2)(()())4()()xyzxyxzxyxz  Do đó BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta chứng minh được 138 ()()()() 4()()163 8 ()()()()()(), 3 xyzxyyzzx xyxz xyzxyyzzxxyyzzxxyyzzx     Nhưng điều này đúng vì 22233xyyzzxxyz và theo bổ đề bên trên. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c = 1. 2. Chúng tôi xin nêu hai cách chứng minh cho câu 2.  Cách 1: Ta có 222333222 ()()()()()xyzxyzxyzxyzyzxzxy Áp dụng bất đẳng thức AM- GM và 2221xyz ta có 2221 () 3xyyxzxxyz Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 2 222 222 111111 3 111111xyzxyz        Do đó ta sẽ chứng minh