Title [tailieutoan.vn]_Chuyên đề 1_Tính đơn điệu và cực trị của hàm số_Lời giải.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Cho K  R , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. 1. Tính đơn điệu của hàm số a) Định lí Cho hàm số y f x  ( ) có đạo hàm trên tập K . Nếu f x( ) 0   (hoặc f x( ) 0   ) với mọi x thuộc K và f x( ) 0   chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f x( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K . b) Các bước để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x  ( ) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y f x  ( ) . Bước 2. Tính đạo hàm f x( )  . Tìm các điểm ( 1, 2, , ) i x i n   mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Bước 3. Sắp xếp các điểm i x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số a) Định nghĩa Cho hàm số y f x  ( ) liên tục trên tập K và 0 1 x K x K   , .  0 x được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng ( ; ) a b chứa điểm 0 x sao cho ( ; ) a b K  và f x f x ( )   0  với mọi x a b ( ; ) và 0 x x  . Khi đó, f x 0  được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là CD f .  1 x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng ( ; ) c d chứa điểm 1 x sao cho ( ; ) c d K  và f x f x ( )   1  với mọi x c d ( ; ) và 1 x x  . Khi đó, f x 1  được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số đã cho, kí hiệu là CT f .  Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cục trị (hay cưc trị). Chú ý: Nếu 0 x là một điểm cực trị của hàm số y f x  ( ) thì điểm M x f x  0 0 ;   được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x  ( ) . b) Dấu hiệu nhận biết Giả sử hàm số f x( ) liên tục trên khoảng ( ; ) a b chứa điểm 0 x và có đạo hàm trên các khoảng a x; 0  và x b 0 ; . Khi đó  Nếu f x( ) 0   với mọi x a x  ; 0  và f x( ) 0   với mọi x x b  0 ;  thì hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm 0 x .
 Nếu f x( ) 0   với mọi x a x  ; 0  và f x( ) 0   với mọi x x b  0 ;  thì hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm 0 x . c) Các bước để tìm điểm cực trị của hàm số f x( ) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f x( ) . Bước 2. Tính đạo hàm f x( )  . Tìm các điểm ( 1, 2, , ) i x i n   mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Bước 3. Sắp xếp các điểm i x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các điểm cực trị của hàm số. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử toạ độ x t( ) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t  0 (giây) được cho bởi công thức: 3 2 x t t t t ( ) 9 15 3.     a) Trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái? b) Khi nào chất điểm chuyển hướng? c) Khi nào vận tốc của chất điểm tăng và khi nào vận tốc của chất điểm giảm? Lời giải a) Vận tốc của chất điểm là 2 v t x t t t v t t ( ) ( ) 3 18 15; ( ) 0 1         hoặc t  5 . Chất điểm chuyển động sang phải khi v  0 , tức là khi t (0;1) hoặc t   (5; ) ; chất điểm chuyển động sang trái khi v  0 , tức là khi t (1;5) . b) Ta có bảng biến thiên của hàm số: Chất điểm chuyển hướng tại các thời điểm mà vận tốc đổi dấu (từ âm sang dương, hoặc từ dương sang âm), tức là tại thời điểm t 1 giây hoặc t  5 giây. c) Gia tốc của chất điểm là a t v t t a t t ( ) ( ) 6 18; ( ) 0 3        . Vận tốc của chất điểm tăng (tương ứng, giảm) khi gia tốc của chất điểm dương (tương ứng, âm). Do đó, vận tốc của chất điểm tăng khi t   (3; ) và giảm khi t (0;3) . Bài 2. Doanh thu hằng tháng R của một sản phẩm mới trong một khoảng thời gian dự kiến tuân theo hàm logistic: 20000 20000 ( ) , 0, 1 50e 51 t R R t t       trong đó thời gian t được tính bằng tháng.
a) Tìm tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng R t ( ) . Có nhận xét gì về doanh thu bán hàng hằng tháng? b) Tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng tăng khi nào và giảm khi nào? c) Khi nào tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng đạt mức tối đa? Lời giải a) Tập xác định của hàm số R t( ) là [0; )  . Tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng là       2 2 20000 50e 1000000e ( ) 1 50e 1 50e t t t t R t             . Ta có: R t ( ) 0, t 0;      . Do đó R t  là hàm số đồng biến trên nửa khoảng [0; )  , tức là doanh thu bán hàng hàng tháng luôn tăng theo thời gian. b) Tập xác định của hàm số R t ( ) là [0; )  . Ta có:            2 4 3 1000000e 1 50e 1000000e 1 50e . 50e 1000000e 50e ( ) 1 50e 1 50e . .2. . 1 t t t t t t t t t R t                      Ta có: R t t ( ) 0 ln 50    Lập bảng biến thiên: Vậy tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng hàng tháng tăng trong khoảng 0;ln 50 và giảm trong khoảng ln 50; c) Tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng đạt mức tối đa tại thời điểm t   ln 50 4 tháng Bài 3. Một nhà phân phối đồ chơi trẻ em xác định hàm chi phí C x( ) và hàm doanh thu R x( ) (đều tính bằng trăm nghìn đồng) cho một loại đồ chơi như sau: 2 C x x x x ( ) 1, 2 0,0001 ,0 6000,     2 R x x x x ( ) 3,6 0,0005 ,0 6000,     trong đó x là số lượng đồ chơi loại đó được sản xuất và bán ra. Xác định khoảng của x để hàm lợi nhuận P x R x C x ( ) ( ) ( )   đồng biến trên khoảng đó. Giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả nhận được. Lời giải Hàm lợi nhuận 2 P x R x C x x x x ( ) ( ) ( ) 2, 4 0,0004 , [0;6000]      .
Ta có: P x x P x x   ( ) 2, 4 0,0008 ; ( ) 0 0 3000       . Suy ra hàm lợi nhuận P x( ) đồng biến trên khoảng (0;3000) . Điều này nghĩa là khi số lượng đồ chơi loại đó được sản xuất và bán ra nằm trong khoảng (0;3000) thì càng sản xuất và bán nhiều, lợi nhuận thu được càng lớn. Bài 4. Hàm chi phí và hàm doanh thu (đều tính bằng triệu đồng) của một loại sản phẩm lần lượt là C x x ( ) 25,5 1000   và R x x ( ) 75,5  , trong đó x là số đơn vị sản phẩm đó được sản xuất và bán ra. a) Tìm hàm lợi nhuận trung bình ( ) ( ) ( ) R x C x P x x  . b) Tìm lợi nhuận trung bình khi mức sản xuất x lần lượt là 100, 500 và 1000 đơn vị sản phẩm. c) Xét tính đơn điệu của hàm lợi nhuận trung bình P x( ) trên khoàng (0; )  và tính giới hạn của hàm số này khi x   . Giải thích ý nghĩa thực tiển của kết quả nhận được. Lời giải a) Hàm lợi nhuận trung bình ( ) ( ) 50 1000 1000 ( ) 50 R x C x x P x x x x       . Ta coi tập xác đỉnh của hàm lợi nhuận trung bình là (0; )  . b) Với x 100 thì P(100) 40  (trię̂ࡂu đồng). Với x  500 thì P(500) 48  (triệu đồng). Với x 1000 thì P(1000) 49  (triệu đồng). c) Ta có: 2 1000 P x( ) 0 x    với mọi x  (0; ) . Vậy hàm lợi nhuận trung bilnh đồng biến trên khoảng (0; )  . Mạ ҕ t khác, 1000 lim ( ) lim 50 50 x x P x   x          . Như vậy, mặc dù lợi nhuận trung bình luôn tăng khi mức sản xuất tǎng nhưng sẽ không vượt quá 50 triệu đồng. Bài 5. Một con lắc lò xo, gồm một vật nặng có khối lượng 1kg được gắn vào một lò xo được cố định một đầu, dao động điều hòa với biên độ A  0, 24 m và chu kì T  4 giây. Vị trí x (mét) của vật tại thời điểm t được cho bởi x t( ) = A st cos( )  , trong đó 2 T    là tần số góc và thời gian t tính bằng giây. a) Tìm vị trí của vaath tại thời điểm t và tại thời điểm t  0,5 giây. b) Tìm vận tốc v của vật tại thời điểm t giây và tìm vận tốc của vật tại thời điểm t  0,5 giây c) Tìm gia tốc a của vật.