Title TOÁN-12_C4_BÀI-2_TÍCH-PHÂN_TOÁN-THỰC-TẾ_HDG.docx ✅

CHUYÊN ĐỀ IV – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Page 1 Sưu tầm và biên soạn III NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN BÀI. TÍCH PHÂN LÝ THUYẾT. I = = = I 1) KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN a) Diện tích hình thang cong: Định lý 1: Nếu hàm số yfx liên tục và không âm trên đoạn ;ab , thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số yfx , trục hoành và hai đường thẳng ,xaxb là ()()SFbFa , trong đó ()Fx là một nguyên hàm của hàm số yfx trên đoạn ;ab . b) Định nghĩa tích phân: Cho hàm số fx liên tục trên đoạn ;ab . Nếu Fx là một nguyên hàm của fx trên đoạn ;ab thì hiệu số FbFa được gọi là tích phân của hàm số fx từ a đến b và kí hiệu là db a fxx  . Ta gọi: a là cận dưới, b là cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, dfxx là biểu thức dưới dấu tích phân, x biến số lấy tích phân. Chú ý: a) Hiệu số FbFa còn được kí hiệu là baFx . Khi đó: d.bb a a fxxFxFbFa  b) Nếu ab thì ta gọi db a fxx  là tích phân của f trên đoạn ;.ab c) Trong trường hợp ab hoặc ab ta quy ước: d0; ddaba aab fxxfxxfxx 
CHUYÊN ĐỀ IV – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Page 2 Sưu tầm và biên soạn d) Tích phân không phụ thuộc và cách kí hiệu biến (điều này sẽ mang lại lợi ích cho ta để tính một số tích phân đặc biệt), tức là ddd....bbb aaa fxxfttfuuFbFa  Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số yfx liên tục và không âm trên đoạn ;ab thì tích phân b a fxdx  là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị yfx , trục hoành và hai đường thẳng ,xaxb . Vậy b a Sfxdx  2. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Cho ,fxgx là các hàm số liên tục trên ;ab . Khi đó ta có:   1).()() 2)()()()() 3)()()()() bb aa bbb aaa bbb aaa kfxdxkfxdx fxgxdxfxdxgxdx fxgxdxfxdxgxdx       4)()()() )bcb aac fxdxfxdxfxdxacb  (chèn cận c ) HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN THỰC TẾ. Câu 1: Một chiếc xe đang chuyển động thẳng đều với vận tốc 30 m/s thì người lái đạp phanh khiến vận tốc của xe thay đổi theo thời gian t (giây) được tính theo công thức 63050vttt . Tính quãng đường di chuyển của xe trong khoảng thời gian tính từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn. Lời giải Quãng đường di chuyển của xe là:  6 662 000 5 d305d3090 2 t svttttt    (m)
CHUYÊN ĐỀ IV – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Page 3 Sưu tầm và biên soạn Câu 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 15m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc 515m/svtt trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? Lời giải Khi dừng hẳn thì ()51503vttt . Từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại, xe di chuyển được: 333 2 000 5 ()d(515)d(15)22,5m 2svtttttt  . Câu 3: Một vật chuyển động với gia tốc 22 ()3 (m/s).attt Vận tốc ban đầu của vật là 2(m/s). Hỏi vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2s. Lời giải Vận tốc chuyển động 2321 ()()d(3)d. 2vtatttttttC  Chọn gốc thời gian lúc bắt đầu tăng tốc thì 321 (0)22()2. 2vCvttt Khi đó tại thời điểm 2s thì (2)12m/s.v Câu 4: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10/ms thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc 210/vttms , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng. Lời giải Ta có 21005tt Thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là 5 giây. Vậy trong 8 giây cuối cùng thì có 3 giây ô tô chuyển động với vận tốc 10/ms và 5 giây chuyển động chậm dần đều với vận tốc 210/vttms . Khi đó quãng đường ô tô di chuyển là 5 0 3.10210302555Stdtm  . Câu 5: Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động với vận tốc 23121(/)vtttms , Giả sử S()t là quãng đường chuyển động của chất điểm theo thời gian t (giây). Tính quãng đường mà vật di chuyển trong 5 giây đầu tiên, Lời giải Ta có S'()()tvt Quãng đường mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ 0t (s) đến 5t (s) là 25 0 (3t12t1)d40()Stm  . Câu 6: Một vật di chuyển với gia tốc 2220(/) (12)atms t  Khi 0t thì vận tốc của vật là 30(/)vtms . Tính quãng đường vật đó đi được sau 3 giây đầu tiên? Lời giải Ta có 2(()()dd2010 12)12Cvtatt ttt  . Mà tại thời điểm 0t vật có vận tốc bằng 30(/)vtms nên ta có (0)30v hay 20C .
CHUYÊN ĐỀ IV – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Page 4 Sưu tầm và biên soạn Vậy 10 ()20 12vt t  . Quãng đường vật đi được từ thời điểm 0( s)t đến thời điểm 3(s)t là 3 0 3 0 ()d d70( m10 (20) 12). tvttt  Câu 7: Kì nghỉ hè lớp 11 bạn Mai ngồi trên máy bay đi du lich từ Hà Nội vào Nha trang với vận tốc chuyển động của máy báy là 234(/)vttms . Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10? Lời giải Quãng đường mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là 10 4 2 (3t4)d960()Stm  . Câu 8: Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25(/)ms . Gia tốc trọng trường là 29,8(/)ms a) Sau bao lâu thì viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất? b) Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất (tính chính xác đến hàng phần trăm) Lời giải a) Chọn chiều dương hướng từ mặt đất lên. Gọi v t  là vận tốc của viên đạn. Ta có (t)(t)9,8va Suy ra 9()()dd98,8,vCtatttt  . Vì (0)25v hay 25C . Vậy ()9,825vtt Gọi T là thời điểm viên đạn đạt độ cao lớn nhất. Tại đó viên đạn có vận tốc bằng 0. 25 T2502,55(s) 9,8()9,8vTT b) Gọi S là quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên tới vị trí cao nhất. khi đó 2,55 0 9d31,79(8),25tStm  Quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất là 263,58()Sm Câu 9: Tại một nhà máy sản xuất gọi Cx là tổng chi phí tính theo triệu đồng để sản xuất x (tấn) sản phẩm A trong một tháng. Khi đó đạo hàm Cx gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn ) của nhà máy ước lượng bởi công thức 250,060,00072Cxxx với 0150x . Biết rằng 030C triệu đồng gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong một tháng. Lời giải 1001002 00 1000(50,060,00072)440CCCxdxxxdx  10044030470C ( triệu đồng) Tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong một tháng là 470 ( triệu đồng). Câu 10: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất