Title Bài 1_Đề bài.docx ✅

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST-PHIÊN BẢN 25-26  WEB: Toanthaycu.com 1 CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 1. NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. Khái niệm nguyên hàm Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của ℝ . Cho hàm số fx xác định trên K . Hàm số Fx được gọi là nguyên hàm của hàm số fx trên K nếu Fxfx với mọi x thuộc K . Ví dụ 1. Chứng minh rằng: a) 25Fxxx là một nguyên hàm của hàm số 52fxx trên ℝ . b) tanGxx là một nguyên hàm của hàm số 21 cosgx x trên ; 22     . Lời giải a) Ta có 2552xxxxfxF với mọi x thuộc ℝ . Vậy Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên ℝ . b) Ta có 21tan cosGxxgx x   với mọi x thuộc ; 22     . Vậy Gx là một nguyên hàm của hàm số gx trên ; 22     . Định nghĩa: Cho ()Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K . Khi đó: - Với mỗi hằng số C , hàm số FxC cũng là một nguyên hàm của fx trên K ; - Nếu Gx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì tồn tại hằng số C sao cho GxFxC với mọi x thuộc K . Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số fx trên K đều có dạng FxC , với C là hằng số. Ta gọi ,FxCCℝ là họ tất cả các nguyên hàm của fx trên K , kí hiệu dfxx và viết dfxxFxC . Chú ý: Biểu thức fxdx gọi là vi phân của nguyên hàm Fx của fx , kí hiệu là dFx . Vậy dddFxFxxfxx . Ví dụ 2. Tìm:

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST-PHIÊN BẢN 25-26  WEB: Toanthaycu.com 3 Vậy lnln20Fxxx . Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác cos dsinxxxC  ; sin dcosxxxC ; 2 1  dtan; cosxxC x  21 dcot sinxxC x  . Ví dụ 5. Tìm 2sincosdx 22 xx  . Lời giải 2sincos dsin dcos. 22 xx xxxxC  Nguyên hàm của hàm số mũ xx edxeC  ;  d0,1. ln x xa axCaa a  Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm Fx của hàm số 2xfx thoả mãn 01F . Lời giải Ta có 2 2 d ln2 x x xC  nên 2 ln2 x FxC . Do 01F nên 0 21 1 ln2ln2CC hay 1 1 ln2C . Vậy 211 ln2ln2 x Fx . III. Tính chất cơ bản của nguyên hàm Nguyên hàm của tích một số với một hàm số Trong truờng hợp tổng quát, với fx là hàm số liên tục trên K , ta có: ddkfxxkfxx , với ,0kkℝ . Ví dụ 7. Tìm: a) 2sin  d 3 x x  ; b) 1 3  d 2 x x   . Lời giải a) 2sin22  dsin dcos 333 x xxxxC  ; b) 1 31313  d d3 d 22366ln3 xxx x xxxC    . Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số Trong trường hợp tổng quát, với (),()fxgx là các hàm số liên tục trên K , ta có: fxgxdxfxdxgxdx ; fxgxdxfxdxgxdx
 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST-PHIÊN BẢN 25-26  WEB: Toanthaycu.com 4 Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 43cosfxx x ; b) 321gxx . Lời giải a) 413cosd3cos d4 d3sin4ln0xxxxxxxCx xx     ; b) 3323221 d81261d8 d12 d6 d1 dxxxxxxxxxxxxx 432 243xxxxC . Ví dụ 9. Khi được thả từ độ cao 20 m, một vật rơi với gia tốc không đổi 210 /ams . Sau khi rơi đ̛ược t giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu? Lời giải Kí hiệu vt là tốc độ của vật, st là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi vật bắt đầu rơi. Vì atvt với mọi 0t nên d10 d10.vtattttC Ta có 00v nên 10.00C hay 0C . Vậy 10 /vttms . Vì vtst với mọi 0t nên 2d10 d5.stvtttttC Ta có 00s nên 25.00C hay 0C . Vậy 25( )sttm . Vật rơi từ độ cao 20 m nên 20st , suy ra 02t . Vậy sau khi vật rơi được t giây 02t thì vật có tốc độ 10 m/svt và đi được quãng đường 25stmt . B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Nguyên hàm đa thức 1. Phương pháp Dùng các phép biến đổi, các phương pháp tính nguyên hàm đưa nguyên hàm về nguyên hàm hàm đa thức: 11 d 1 nn xxxC n    ; 111d. 1 nn axbxaxbC na    2. Ví dụ Ví dụ 1. Tính 4 5xdx  Ví dụ 2. Tìm họ tất cả nguyên hàm của hàm số 24fxx Ví dụ 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 3fxxx Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm số 12fxxx . Ví dụ 5: Biết hàm số yfx có 232fxxxm , 21f và đồ thị của hàm số yfx cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Tìm hàm số fx Dạng 2: Nguyên hàm phân thức 1. Phương pháp: Tách hàm số muốn lấy nguyên hàm thành các hàm số phân thức cơ bản: 1 dxlnxC; x  2 11 dxC xx 