Title 18. CHUYÊN ĐỀ THỰC TẾ - LOGIC –DIRICHLE.Image.Marked.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ: THỰC TẾ - LOGIC –DIRICHLE A. KIẾN THỨC CƠ BẢN Nguyên tắc này mang tên nhà toán học người Đức Peter Gustav Dirichlet còn gọi là “nguyên tắc lòng chim câu” được phát biểu hết sức đơn giản như sau: Nếu nhốt n 1con thỏ vào n cái lồng n*thì thế nào cũng có một lồng chứa ít nhất hai con thỏ Nếu nhốt n con thỏ vào k cái lồng (với n,k *, n lớn hơn và không chia hết cho k) thì thế nào cũng có một cái lồng chứa ít nhất 1 n k        con thỏ. B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. ĐỀ BÀI TỪ BÀI 1 ĐẾN BÀI 50 Bài 1. Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cup 2018, ban tổ chức giải đấu chuẩn bị 25000 quả bóng, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 25000. Người ta dùng 7 màu: Đỏ, Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng (mỗi quả được sơn 1 màu). Chứng minh rằng trong 25000 quả bóng nói trên tồn tại 3 quả bóng cùng màu được đánh số là a,b,c mà a chia hết cho b, b chia hết cho c và abc 17 Bài 2. Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau. Bài 3. Tập hợp A  1;2;3;...;3n 1;3n ( n là số nguyên dương) được gọi là tập hợp cân đối nếu có thể chia A thành n tập hợp con 1 2 , ,..., A A An và thỏa mãn hai điều kiện sau: i) Mỗi tập hợp Ai i 1,2,...,n gồm ba số phân biệt và có một số bằng tổng của hai số còn lại. ii) Các tập hợp 1 2 , ,..., A A An đôi một không có phần tử chung. a) Chứng minh rằng tập A  1;2;3;...;92;93 không là tập hợp cân đối. b) Chứng minh rằng tập A  1;2;3;...;830;831 là tập hợp cân đối. Bài 4.

khác nhau và tổng các số trong cùng một hình tròn đều bằng 14. a. Tính tổng các số trong các miền b, d, f và h. b. Xác định cách điền thỏa mãn yêu cầu trên. Bài 15. Cho 100 điểm trên mặt phẳng sao cho trong bất kỳ bốn điểm nào cũng có ít nhất ba điểm thẳng hàng. Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó để 99 điểm còn lại cùng thuộc một đường thẳng. Bài 16. Trên bảng ban đầu ghi số 2 và số 4. Ta thực hiện cách viết thêm các số lên bảng như sau: nếu trên bảng đã có hai số, giả sử là a,b; a  b , ta viết thêm lên bảng số có giá trị là a  b  ab. Hỏi với cách thực hiện như vậy, trên bảng có thể xuất hiện số 2016 được hay không? Giải thích. Bài 17. Cho 1 2 ...... n a  a   a , n là số tự nhiên không âm, a là các số nguyên dương và không có 2 số nào liên tiếp. Đặt 1 2 ...... n S  a  a   a . Chứng minh rằng luôn tồn tại một số chính phương b thỏa mãn n n 1 S b S    Bài 18. Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1,2,3,...,625 chọn ra 311 số sao cho không có hai số nào có tổng bằng 625 . Chứng minh rằng trong 311 số được chọn, bao giờ cũng có ít nhất một số chính phương. Bài 19. Cho dãy số n, n+1, n+2, ..., 2n với n nguyên dương. Chứng minh trong dãy có ít nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên. Bài 20. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A,độ dài cạnh huyền bằng 2015. Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có khoảng cách không lớn hơn 1. Bài 21.Chứng minh rằng trong 2n+1 - 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n số có tổng là một số chẵn. Bài 22. Trên một đường tròn, lấy 1000 điểm phân biệt, các điểm được tô màu xanh và màu đỏ xen kẽ nhau. Mỗi điểm được gán với một giá trị là một số thực khác không, giá trị của mỗi điểm màu xanh bằng tổng giá trị của hai điểm màu đỏ kề với nó, giá trị của mỗi điểm màu đỏ bằng tích giá trị của hai điểm màu xanh kề với nó. Tính tổng giá trị của 1000 điểm trên
Bài 23. Trong hình vuông cạnh bằng 1 có 2019 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 91 nằm trong hình vuông đó mà không chứa điểm nào trong 2019 điểm đã cho. Bài 24. Tập hợp A  1;2;3;...;3n 1;3n ( n là số nguyên dương) được gọi là tập hợp cân đối nếu có thể chia A thành n tập hợp con 1 2 , ,..., A A An và thỏa mãn hai điều kiện sau: i) Mỗi tập hợp Ai i 1,2,...,n gồm ba số phân biệt và có một số bằng tổng của hai số còn lại. ii) Các tập hợp 1 2 , ,..., A A An đôi một không có phần tử chung. a) Chứng minh rằng tập A  1;2;3;...;92;93 không là tập hợp cân đối. b) Chứng minh rằng tập A  1;2;3;...;830;831 là tập hợp cân đối. Bài 25. Trong một hộp có 2010 viên sỏi. Có hai người tham gia trò chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất là 11 viên sỏi và nhiều nhất là 20 viên sỏi. Người nào bốc viên sỏi cuối cùng sẽ thua cuộc. Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc. Bài 26. Cho đa giác lồi A1A2A100 . Tại mỗi đỉnh Ak ( k 1,2,...,100 ), người ta ghi một số thực k a sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau chỉ bằng 2 hoặc 3. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một khác nhau. Bài 27. Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông. 2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng 1 . 3 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy. Bài 28. Cho 2014 số nguyên dương không lớn hơn 2014 và có tổng bằng 4028. Chứng minh rằng từ 2014 số đó luôn chọn được các số mà tổng của chúng bằng 2014