Title Chuong 5_Bài 4_ _CTST_Lời giải.pdf ✅

BÀI 4. TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Góc giữa hai vectơ Cho hai vectơ a và b đều khác 0  . Từ một điểm O bất kì ta vẽ  ,      OA a OB b . Góc AOB với số đo từ 0  đến 180  được gọi là góc giữa hai vectơ a và b . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là ( , )  a b . Nếu ( , ) 90    a b thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là   a b . Chú ý: - Tử định nghĩa ta có ( , )  ( , )     a b b a . - Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0  luôn bằng 0  . - Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0  luôn bằng 180  . - Trong trường hợp có it nhất một trong hai vectơ a hoặc b là vectơ 0  thi ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tuỳ ý (từ 0  đến 180  ). 2. Tích vô hướng của hai vecto' Cho hai vectơ a và b đều khác 0  . Tích vô hướng của a và b là một số, ki hiệu là   a b , được xác định bởi công thức:  | | | | cos( , )       a b a b a b . Chú ý: - Trường hợp it nhất một trong hai vectơ a và b bằng 0  , ta quy ước   0  a b . - Với hai vectơ a và b đều khác 0  , ta có     0     a b a b . - Khi   a b thi tich vô hướng   a b được ki hiệu là 2 a và được gọi là binh phrơng vô hiróng của vectơ a . Ta có 2 2 | | | | cos 0 | |          a a a a . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương đô dài của vectơ đó. 3. Tính chất của tích vô hướng - Với ba vectơ , ,    a b c bất kì và mọi số k , ta có: -    ;     a b b a (  )     ; •( )  (  )  ( )              a b c a b a c ka b k a b a kb . - Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ, ta suy ra: - 2 2 2 (  )   2         a b a a b b - 2 2 2 (  )   2         a b a a b b - 2 2 (  )(  )         a b a b a b .
4. Áp dụng của tích vô hướng Trong Vật li, tích vô hướng giúp tinh công Asinh bởi một lực F có độ dịch chuyển là vectơ d . Ta có công thức:     A F d . B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 1. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:  ,  ,  ,          AB AD AB AC AC CB AC BD Lời giải Ta có: 2 2 2 2 AC  BD  AB  BC  a  a  a 2 +)       0     AB AD AB AD AB AD | | | | cos( , ) cos 45               AB AC AB AC AB AC a a 2 2 2  a | | | | cos( , ) 2 cos135               AC CB AC CB AC CB a a 2  a +)       0     AC BD AC BD AC BD Chú ý     0     a b a b Câu 2. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD  a, AB  2a . Tính: a)    AB AO b)    AB AD Lời giải a)   2 2 2 2 (2 ) 5 cos( , ) 2 2 5 cos cos 5 5 AC BD AB AD a a a AB AO AB a OAB CAB AC a             
2 | | | | cos( , ) 1 1 2 5 cos( , ) 2 5 2 2 2 5 AB AO AB AO AB AO AB AC AB AO a a a                     b)       0     AB AD AB AD AB AD Câu 3. Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA  a,OB  b . Tính tích vô hướng    OA OB trong hai trường hợp: a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB ; b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB Lời giải a) Ta có: Ta thấy hai vectơ  OA và  OB cùng hướng nên ( , ) 0     OA OB OA OB | OA | | OB | cos(OA,OB) a b cos0 ab                 b) Ta có: Ta thấy hai vectơ  OA và  OB ngược hướng nên ( , ) 180 | | | | cos( , ) cos180 OA OB OA OB OA OB OA OB a b ab                      Câu 4. Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: 2 2        MA MB MO OA Lời giải Ta có:   0         OA OB OA OB 2 2  MO OA  (MO OA)(MO OA)  (MO OB)(MO OA)  MB MA             (đpcm) Câu 5. Một người dùng một lực F có độ lớn là 90N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100m. Biết lực hợp F với hướng dịch chuyển là một góc 60  . Tính công sinh bởi lực F Lời giải
Công sinh bởi lực F được tính bằng công thức A F d | F | | d | cos(F,d) 90.100 cos60                4500(J) Vậy công sinh bởi lực F có độ lớn bằng 4500 (J) Câu 6. Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 có tích vô hướng là 6. Tính góc giữa hai vectơ đó. Lời giải Ta cho: | | 3;| | 4  a b và   6  a b Ta có công thức: | | | | cos( , ) 3 4 cos( , ) 6 3 4 cos( , ) 6 1 cos( , ) ( , ) 120 2 a b a b a b a b a b a b a b a b                                      C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích vô hướng 2 vectơ và xác định góc của hai vecto 1. Phương pháp giải. a) Để tính tích vô hướng của hai vectơ, ta có thể sử dụng: + Nếu có độ dài hai vectơ và góc giữa chúng, ta dùng định nghĩa a.b  a . b cosa,b       + Nếu là tích của tổng, hiệu các vectơ ta dùng tính chất của tích vô hướng + Nếu biết độ dài hai vectơ và độ dài của tổng hay hiệu của chúng, ta bình phương tổng hay hiệu của chúng + Nếu một vectơ cố định và một vectơ thay đổi ta có thể dùng định lý hình chiếu. b) Để tính góc của hai vectơ, ta sử dụng công thức:   . cos , . a b a b a b        2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a , tâm O . Hãy tính: a). AB.AC   b). AB.BC   c). OB  OC AB  AC     d). AB  2AC AB  3BC     Lời giải