Title 0103 - Các nguyên lý cơ bản của tập hợp R[Lời giải + Đáp án].pdf ✅

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Học online tại: https://mapstudy.vn _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 1 BÀI TẬP: GIẢI TÍCH I CHƯƠNG I: DÃY SỐ CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ Bài 1: Cho n 1 1 x 1 ... . 1! n! = + + + CMR x n hội tụ Hướng dẫn giải Rõ ràng ( ) ( ) n 1 n n 1 1 1 1 x 1 ... x x 1! n! n 1 ! n 1 ! + = + + + + = +  + + nên dãy đã cho tăng. Mặt khác: k 1 k 1 1 1 k! 1.2...k 2 k 1 k ! 2 − − =      n n 2 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x 1 ... 1 1 ... 1 1 2 3 1! 2! n! 2 2 2 2 1 1 2 − −   −   = + + +  + + + + + = + = + −    − Dãy cũng bị chặn trên, vậy nó hội tụ, đpcm Bài 2: Xét sự hội tụ của các dãy sau có số hạng tổng quát như sau: a) cos 4  n = n x b) 1 = sin n x n c) 1 = − + ( 1) sin n n x n d) sin n x n = Hướng dẫn giải a) n nπ x cos 4 = Khi n → thì: 8n 8nπ x cos cos 2π 1 1 4 = = = → và ( ) 8n 2 8n 2 π π x cos cos 2π 0 0 4 2 + +   = = + = →     . Điều này chứng tỏ hai dãy con có hai giới hạn khác. Vậy dãy không hội tụ. NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi Đăng Ký Khóa Học Online Tại Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi Tài Liệu Được Chia Sẻ Bởi Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi
Học online tại: https://mapstudy.vn _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 2 b) n 1 x sin n = Ta chứng minh sin(x) < x với x dương, gần 0 – bằng phương pháp hình học. Thật vậy, vẽ vòng tròn đơn vị như hình vẽ, góc x = AOB thì B thuộc góc phần tư thứ nhất, và sin(x) = OH = BK < BA < cung (BA) = x ta có đpcm. Áp dụng: n 1 1 0 x sin 0 n n  =  → khi n → , theo nguyên lý kẹp thì xn hội tụ về 0 c) n n 1 x ( 1) sin n = − + Theo câu 2.2 thì n 1 lim sin 0 → n = , mặt khác ( ) n n lim 1 → − không tồn tại vì nó nhận giá trị xen kẽ -1 và 1. Ta chứng minh dãy đã cho không tồn tại giới hạn, thật vậy, giả sử tồn tại, khi đó: n n n n n n n 1 1 lim( 1) lim x sin lim x lim sin → → → → n n   − = − = −     , giới hạn này tồn tại, điều này mâu thuẫn. Vậy dãy đã cho phân kỳ d) n x sinn = Giả sử dãy đã cho sin(n) hội tụ, suy ra sin2n cũng hội tụ, suy ra cos2n hội tụ, gọi giới hạn của sin(n) là a, cos2n là b (a, b hữu hạn) ( ) ( ( ) ) 2 2 2 sin n 1 sinncos1 cosnsin1 cos nsin 1 sin n 1 sinnco + = +  = + − s 1 , cho n ra vô cùng được: ( ) ( ) 2 2 2 2 b sin 1 a a cos1 a 1 cos1 = − = − (1) ( ) ( ( ) ) 2 2 2 sin n 2 sinncos 2 cosnsin 2 cos nsin 2 sin n 2 sinnco + = +  = + − s 2 , lại cho n ra vô cùng được: ( ) ( ) 2 2 2 2 b sin 2 a acos 2 a 1 cos 2 = − = − (2) (1) và (2) cho thấy a và b đồng thời khác 0, khi đó chia hai đẳng thức thu được: NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi Đăng Ký Khóa Học Online Tại Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi Tài Liệu Được Chia Sẻ Bởi Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi
Học online tại: https://mapstudy.vn _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 3 ( ) ( ) 2 2 2 2 sin 2 1 cos 2 sin 1 1 cos1 − = − . Ta có thể kiểm tra điều này sai bằng máy tính, vậy điều giả sử là sai hay dãy đã cho phân kỳ Bài 3: Xét sự hội tụ của dãy có số hạng tổng quát như sau: a) n 2 2 2 1 1 1 u 1 ... 2 3 n = + + + + b) ( ) n 3 2 3 2 2 1 1 1 1 1 u ... 1 2 3 4 2n = + + + + + c) ( ) n sin1 sin 2 sinn u ... 1.2 2.3 n n 1 = + + + + Hướng dẫn giải a) n 2 2 2 1 1 1 u 1 ... 2 3 n = + + + +    ε 0 N sao cho 1 ε N  , khi đó bất kỳ m n N   thì: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (1) m n 2 2 2 1 1 1 1 1 1 u u ... ... n 1 n 2 m n n 1 n 1 n 2 m 1 m − = + + +  + + + + + + + + − ( 2) 1 1 1 ε n m n = −   (Giải thích: có (1) do ( ) 2 1 1 k k 1 k  − ) Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy dãy hội tụ b) ( ) n 3 2 3 2 2 1 1 1 1 1 u ... 1 2 3 4 2n = + + + + + Đặt     1 2 n n n r r r 1 1 1 r 3,2,3,2,... u ... 1 2 2 =  = + + +    ε 0 N sao cho 1 ε N  , khi đó bất kỳ m n N   thì: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) n 1 n 2 m (1) m n r r r 1 1 1 1 1 1 u u ... ... n 1 n 2 + + m n n 1 n 1 n 2 m 1 m − = + + +  + + + + + + + + − ( 2) 1 1 1 ε n m n = −   (Giải thích: có (1) do ( ) k r 2 1 1 1 k k k 1 k   − ) Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy dãy hội tụ NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi Đăng Ký Khóa Học Online Tại Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi Tài Liệu Được Chia Sẻ Bởi Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi
Học online tại: https://mapstudy.vn _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 4 c) ( ) n sin1 sin 2 sinn u ... 1.2 2.3 n n 1 = + + + + ( ) ( ) ( )( ) + + + + − = + + +  + + + + + + + + + + + + + + (1) n p n sin(n 1) sin(n 2) 1 1 sin(n p) u u ... ... n 1 (n 2) n 2 (n 3) n 1 n 2 (n p)(n p 1) (n p)(n p 1) 1 1 1 1 n n p n n 1 1 1 = −     + + + + Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy dãy hội tụ Bài 4: Dùng nguyên lý Cauchy, CMR các dãy số sau phân kỳ a) n 1 1 u 1 ... 2 n = + + + n 1 1 1 u ... ln2 ln3 lnn = + + + Hướng dẫn giải a) Lấy 1 ε 2 = , khi đó  N thì với n > N ta có: 2n n 1 1 1 1 u u 1 ... 1 ... 2 2n 2 n     − = + + + − + + +         1 1 1 1 1 1 n ... ... ε n 1 n 2 2n 2n 2n 2n 2n = + + +  + + + = = + + Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy dãy phân kỳ, đpcm b) Lấy 1 ε 2 = ,  N, với n > N ta có: ( ) 2n n 1 1 1 1 u u 1 ... 1 ... ln 2 ln 2 lnn ln 2n     − = + + + − + + +           ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ε ln n 1 ln n 2 ln 2n n 1 n 2 2n 2 = + + +  + + +  = + + + + tương tự câu a, ngoài ra đã kết hợp thêm tính chất: 1 1 lnn n n 1 lnn n      Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy dãy phân kỳ, đpcm Bài 5: Dùng nguyên lý Cauchy, CMR các dãy số sau hội tụ. a) n 2 n sin1 sin2 sinn u ... 2 2 2 = + + + b) n cos1! cos 2! cosn! u ... 1.2 2.3 n(n 1) = + + + + c) n 2 3 n 1 1 1 u 1 ... 2 3 n = + + + + NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi Đăng Ký Khóa Học Online Tại Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi Tài Liệu Được Chia Sẻ Bởi Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi