Title Chương 3_Bài 1_Giới hạn dãy số_CTST_Đề bài.pdf ✅

CHƯƠNG 3: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số Giới hạn 0 của dãy số Dãy số un  có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n u nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim 0 0 . n n n u hay u khi n      Ta còn viết là lim 0 n u  . Ta thừa nhận một số giới hạn cơ bản sau đây:  1 lim 0 k n  , với k nguyên dương bất kì.  lim 0 n q  , với q là số thực thỏa mãn q 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số Dãy số un  có giới hạn hữu hạn là số a ( hay n u dần tới a) khi ndần tiến tới dương vô cực, nếu lim  0. n u  a  Khi đó, ta viết lim . n n n n u a hay lim u a hay u a khi n       Chú ý: Nếu n u  c ( c là hằng số) thì lim un  limc  c . 2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số Cho n ,lim n lim u  a v = b và c là hằng số. Khi đó: limun  vn   a  b limun  vn   a  b lim .  . n c u  c a lim .  . n n u v  a b lim  0 n n u a b v b   Nếu 0, n n u n thì a 0 và lim u a       3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn un  có công bội q thỏa mãn q 1được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là 1 1 2 ... ... 1 n u S u u u q        4. Giới hạn vô cực Ta nói dãy số un  có giới hạn là nếu n u lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim n n u   hay u   khi n +.
Ta nói dãy số un  có giới hạn là  khi n   nếu limun    , kí hiệu lim n n u   hay u   khi n + . Chú ý: Ta có các kết quả sau: a) lim n u   khi và chỉ khi limun    ; b Nếu lim n u   hoặc lim n u   thì 1 lim 0 n u  ; c) Nếu lim 0 0 n n u  và u  với mọi n thì 1 lim n u   . Nhận xét: )lim  , 1; k a n   k  k  )lim  1. n b q   q  B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Tìm các giới hạn sau: a) 2 1 lim n n   ; b) 2 16 2 lim n n  ; c) 4 lim 2n 1 ; d) 2 2 2 3 lim 2 n n n   . Bài 2. Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau: a) 1 1 1 1 2 4 8 2 n            ; b) 1 1 1 1 4 16 64 4 n           Bài 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 dưới dạng một phân số. Bài 4. Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5). a) Kí hiệu n a là diện tích của hình vuông thứ n và n S là tổng diện tịch của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính an , Sn n 1,2,3, và tìm lim n S (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông). b) Kí hiệu n p là chu vi của hình vuông thứ n và Qn là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công
thức tính n p và Qn n 1,2,3, và tìm lim Qn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông). Bài 5. Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau: Bắt đầu bằng một hình vuông H0 cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a ). Chia hình vuông H0 thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H1 bốn hình vuông, nhận được hình H2 (xem Hình 6c ). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình Hn n 1,2,3,. Ta có: H1 có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng 1 3 ; H2 có 2 5.5  5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng 2 1 1 1 ; 3 3 3   . Từ đó, nhận được Hn có 5 n hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng 1 3 n . a) Tính diện tích n S của Hn và tính lim n S . b) Tính chu vi n p của Hn và tính lim n p . (Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim n S và chu vi lim pn  . C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Giới hạn hữu tỉ 1. Phương pháp Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức và mẫu thức cho luỹ thửa cao nhất của k n , với k là bậc cao nhất ở mẫu, rồi áp dụng các quy tắc tinh giới hạn. Chú ý : Cho P(n), Q(n) lần lượt là các đa thức bậc m, k theo biến n : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 m k k k k k m m m m a n a a Q n b n b n b n P x a n b b a n - - - = + - + + + =/ = + + + + =/   Khi đó ( ) ( ) lim lim m m k k P n a n Q n b n = , viết tắt ( ) ( ) m m k k P n a n Q n b n  , ta có các trường hợp sau : Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu ( m < k ) thì ( ) ( ) lim 0. P n Q n =
Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu ( m = k ) thì ( ) ( ) lim . m k P n a Q n b = Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu ( m > k ) thì ( ) ( ) 0 lim . 0 m k m k P n khi a b Q n khi a b ìï+¥ > = í ï î-¥ < Để ý rằng nếu P(n), Q(n) có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể m k n tì có bậc là . kn Ví dụ n có bậc là 1 3 4 , 2 n có bậc là 4 ,... 3 Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng ! 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tính      3 2 3 2 3n 5n 1 lim 2n 6n 4n 5 . Ví dụ 2: Tính 2 3 2 lim 3 1 n n n n + + - Ví dụ 3: Tính 7 2 3 lim 3 1 n n n n + + - Ví dụ 4: Cho dãy số (un ) với 2 5 3 n n b u n + = + trong đó b là tham số thực. Để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn, giá trị của b bằng bào nhiêu Ví dụ 5: Cho dãy số (un ) với 2 2 4 2 . 5 n n n u an + + = + Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a bằng bao nhiêu Ví dụ 6: Tính giới hạn ( )( )( ) ( )( ) 2 3 4 2 2 2 1 4 5 lim . 3 1 3 7 n n n n L n n n + + + = - - - Dạng 2. Dãy số chứa căn thức 1. Phương pháp  Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tính 2 2 lim n 7 n 5          Ví dụ 2. Tính ( ) 2 lim n -n +1-n Ví dụ 3. Tính   3 2 3 lim n  n  n Ví dụ 4. Tính lim n ( n 1 n) é ù ê + - ú ë û 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B                        