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Université Abdelmalek Essaâdi 2019/2020 FST – Tanger Semestre 4 Département de Physique MIP_P42 TD d’électromagnétisme n° 1 EXERCICE : 1 On considère une sphère diélectrique de rayon R uniformément polarisée dont on cherche le potentiel qu’elle crée en un point M quelconque. 1. En partant de l’expression du potentiel que crée le moment dipolaire correspondant à l’élément de volume . Donner sous forme intégrale l’expression du potentiel V en M. 2. En montrant que cette intégrale se ramène à un calcul connu en électrostatique. Déterminer le potentiel électrostatique V pour et . 3. En déduire le champ électrostatique correspondant au potentiel V. 4. Que peut-on conclure quant au potentiel et au champ à l’extérieur du diélectrique ? EXERCICE : 2 Un diélectrique cylindrique de rayon R et de hauteur h possède une polarisation ⃗ ⃗ uniforme, parallèlement à son axe. 1. Calculer le champ ⃗ créé par la collection de dipôles en tout point M de l’axe, intérieur ou extérieur au cylindre, en fonction de ⃗ et des angles et (pris positifs) s’appuyant sur les bases du cylindre. Cas particulier : h<>R (barreau). 2. Examiner les discontinuités du champ macroscopique ⃗ et du vecteur ⃗ au passage de la base. 3. Que penser de l’hypothèse ⃗ uniforme  ⃗ uniforme ? EXERCICE : 3 On considère une lame de diélectrique de permittivité , non chargée, d’épaisseur e et dont les faces sont des plans considérés comme infinis. Cette lame est placée, dans le vide, dans un champ extérieur ⃗ , perpendiculaires aux faces planes. 1. Déterminer les densités surfaciques des charges fictives de polarisation. 2. Déterminer le champ dépolarisant créé à l’intérieur de la lame par les charges de polarisation. On admettra que la lame est suffisamment peu épaisse pour que le champ dans le diélectrique soit uniforme et parallèle à ⃗ . EXERCICE : 4 Une sphère diélectrique de rayon R possède une polarisation fonction de la distance au centre (la source responsable de cette polarisation n’est pas précisée) :
⃗ ⃗ où ⃗ 1. Calculer les densités de charges de polarisation et vérifier la neutralité électrique de la sphère diélectrique. 2. Déterminer les champs ⃗ et ⃗ crées respectivement par la répartition de dipôles à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère et vérifier la relation de continuité de ⃗ au passage par la surface 3. Le champ électrique macroscopique est-il nul à l’extérieur de la sphère ? Commenter. EXERCICE : 5 Une charge ponctuelle positive q est placée au centre d’une cavité sphérique de rayon a creusée dans une sphère diélectrique LHI parfait de rayon externe b et de permittivité électrique . 1. Par application du théorème de Gauss, déterminer le champ électrique macroscopique ⃗ en tout point de l’espace. Commenter. 2. En déduire le vecteur polarisation ⃗ dans le diélectrique. 3. Calculer les charges de polarisation, comment se traduit leur conservation ? 4. Déterminer par deux méthodes différentes le champ dépolarisant ⃗ . EXERCICE : 6 Une sphère de centre O et de rayon R, constituée d’un diélectrique LHI de susceptibilité , est placée dans un champ électrique ⃗ uniforme. Le vecteur polarisation ⃗ qui en résulte est également supposé uniforme : ⃗ ⃗ . 1. (a) Calculer les densités de charge volumique et surfacique de polarisation et exprimer le champ ⃗ créé par la répartition des dipôles au centre O de la sphère S. (b) En déduire le vecteur polarisation ⃗ en fonction de et ⃗ . 2. (a) Ecrire en un point M quelconque (intérieur ou extérieur à S) l’intégrale triple donnant le potentiel créé par la sphère polarisée en fonction de ⃗ . Montrer que le calcul de cette intégrale conduit formellement à celui d’un champ électrique ⃗ d’une distribution volumique de charge avec . (b) Donner et . (c) En déduire que ⃗ est uniforme et exprimer ⃗ en fonction de ⃗ , R et ⃗ , . (d) Montrer que le champ extérieur créé par la polarisation est celui d’un dipôle placé en O et de moment à déterminer en fonction de , R et ⃗ .
Université Abdelmalek Essaâdi 2019/2020 FST – Tanger Semestre 4 Département de Physique MIP_P42 Solution TD d’électromagnétisme n° 1 EXERCICE : 1 1. Le potentiel crée par un dipôle de moment dipolaire ⃗ est : ( ) ⃗ ⃗ ⃗ Le potentiel crée par tout le volume de la sphère est : ( ) ∫∫∫ ⃗ ⃗ ⃗ ( ) ⃗ [ ∫∫∫ ⃗ ] 2. En multipliant le numérateur et le dénominateur par la densité volumique de charge ( ) l’expression de V devient : ⃗ [ ∫∫∫ ⃗ ] Le terme entre crochets, correspond au champ électrique ⃗ crée par une sphère chargée avec une densité volumique de charge . ⃗ ⃗ Le calcul de ⃗ est effectué à l’aide du théorème de Gauss :  ⃗  ⃗ ( ) ⃗ D’où l’expression du potentiel :  ( ) ⃗  ( ) ⃗ 3. Le champ électrique est relié au potentiel par : ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗ ⃗  ⃗ ⃗ ⃗
⃗ ( ⃗ ⃗ ) 4. On constate qu’à l’extérieur, le champ et le potentiel sont ceux d’un dipôle de moment : ⃗ ⃗ EXERCICE : 2 1. Polarisation uniforme ⃗  La densité volumique de charge : ⃗  La densité surfacique de charge : ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ { Donc : ⃗ ⃗ ⃗ Calculons le champ électrique crée par un disque chargé uniformément par une densité une densité en un point M de son axe oz. Le champ résultant : ( ) ( ) On a trois possibilités : 1 ère cas : ⃗ [ ( ) ( )] 2 ème cas : ⃗ [ ( ) ( )] 3 ème cas : ⃗ [ ( ) ( )]