Title °TD PHYSIQUE QUANTIQUE FSR RABAT 20 21 SMP5.pdf ✅

Universit ́e Mohammed V Ann ́ee Universitaire : 2020-2021 Facult ́e des Sciences de Rabat Sciences de la Mati`ere Physique 5 D ́epartement de Physique SMP5 Travaux Dirig ́es de Physique Quantique S ́erie 1 Postulats de la m ́ecanique quantique Exercice 1 Mesure d’observables On consid`ere une base orthonorm ́ee {| 1 >, | 2 >, | 3 >} o`u l’hamiltonien H et une grandeur physique A sont repr ́esent ́es par les matrices H = E0   3 0 0 0 1 0 0 0 −1   A = a   2 0 0 0 0 1 0 1 0   o`u E0 et a sont des constantes positives. 1 a) On proc`ede `a une mesure de l’ ́energie. Quels r ́esultats peut-on obtenir ? b) Diagonaliser A c) On proc`ede `a une mesure de la grandeur A. Quels r ́esultats peut-on obtenir ? 2 On pr ́epare le syst`eme dans l’ ́etat | ψ >= 1 √ 3 (| 1 > + | 2 > + | 3 >) a) Quelle est la probabilit ́e pour qu’une mesure de l’ ́energie donne une valeur 3E0 ? b) Si le r ́esultat d’une telle mesure est effectivement 3E0, quel est l’ ́etat du syst`eme apr`es la me- sure ? c) Quel(s) r ́esultat(s) donnerait alors une mesure de A ? Avec quelle(s) probabilit ́e(s) ? 3 a) Quelle est la probabilit ́e pour que l’ ́energie mesur ́ee soit E0 si le syst`eme est initialement dans l’ ́etat | ψ > ? Quel est l’ ́etat du syst`eme apr`es la mesure ? b) Quels sont alors les r ́esultats possible d’une mesure de A ? Quelles sont les probabilit ́es associ ́ees ? c) On suppose que la mesure de A donne −a, quel est l’ ́etat du syst`eme apr`es la mesure ? 4 On effectue un grand nombre de mesure de l’ ́energie sur un grand nombre de syst`emes identiques tous pr ́epar ́es dans l’ ́etat | ψ >. Quelle en est la moyenne ? Exercice 2 : Evolution temporelle des valeurs moyennes On consid`ere un syst`eme physique dont l’espace des ́etats, qui est `a trois dimensions, est rapport ́e `a la base orthonorm ́ee form ́ee par les trois kets | u1 >,| u2 > ,| u3 > . Dans la base de ces trois vecteurs, l’op ́erateur hamiltonien H du syst`eme et deux observables A et B s’ ́ecrivent : H = ̄hω   −1 0 0 0 1 0 0 0 1   A = a   1 0 0 0 0 i 0 −i 0   B = b   0 1 0 1 0 0 0 0 1   , o`u , a et b sont des constantes r ́eelles positives. Le syst`eme physique est `a l’instant t = 0 dans l’ ́etat : | ψ(0) >= 1 √ 2 | u1 > + 1 2 | u2 > + 1 2 | u3 > 1
V ́erifier que ce vecteur est norm ́e. 1- On mesure, `a l’instant t = 0, l’ ́energie du syst`eme. Quelles valeurs peut-on trouver, et avec quelles probabilit ́es ? Calculer, pour le syst`eme dans l’ ́etat | ψ(0) >, la valeur moyenne < H > et l’ ́ecart quadratique moyen ∆H. 2- Au lieu de mesurer H `a l’instant t = 0, on mesure A ; quelles valeurs peut-on trouver, et avec quelles probabilit ́es ? Quel est le vecteur d’ ́etat imm ́ediatement apr`es la mesure ? 3- Calculer le vecteur d’ ́etat du syst`eme `a l’instant t. 4- Calculer les valeurs moyennes < A > (t) et < B > (t) `a l’instant t. Quelles remarques peut-on faire ? 5- Quels r ́esultats obtient-on si l’on mesure `a l’instant t l’observable A ? Mˆeme question pour B ; interpr ́etation ? Exercice 3 : Observables avec des spectres continus et repr ́esentation {| x >} Soit dans un probl`eme `a une dimension, une particule dont la fonction d’onde est : ψ(x) = N e i h ̄ p0x √ x 2 + a 2 o`u a et p0 sont des constantes r ́eelles, et N un coefficient de normalisation. 1- D ́eterminer N pour que ψ(x) soit norm ́ee. 2- On mesure la position de la particule ; quelle est la probabilit ́e pour que le r ́esultat soit compris entre − √a 3 et √a 3 ? 3- Calculer la valeur moyenne de l’impulsion d’une particule ayant ψ(x) comme fonction d’onde. Exercice 4 : Mesure de l’impulsion d’une particule La fonction d’onde d’une particule libre en mouvement sur un axe x ′Ox est donn ́e `a l’instant t = 0 par : ψ(x, 0) = N Z +∞ −∞ dke−|k|/k0 e ikx o`u k0 > 0 et N sont des constantes. 1- Quelle est la probabilit ́e P(p1, 0) pour qu’une meure de l’impulsion, effectu ́ee `a l’instant t = 0, donne un r ́esultat compris entre −p1 et +p1 ? Etudier sommairement la fonction P(p1, 0). 2- Que devient cette probabilit ́e P(p1, 0) si la mesure est ́effectu ́ee `a l’instant t ? Interpr ́etation ? 3- Quelle est la forme du paquet d’onde `a l’instant t = 0 ? Calculer `a cet instant le produit ∆X.∆P ; conclusion ? D ́ecrire qualitativement l’ ́evolution ult ́erieure du paquet d’onde. Exercice 5 Particule soumise `a une force constante Dans un probl`eme `a une dimension, on consid`ere une particule d’en ́ergie potentielle V (X) = −fX, o`u f est une constante positive. 1- Ecrire le th ́eor`eme d’Ehrenfest pour les valeurs moyennes de la position X et de l’impulsion P de la particule. Int ́egrer ces ́equations ; comparer avec le mouvement classique. 2- Montrer que l’ ́ecart quadratique moyen ∆P ne varie pas au cour du temps. 3- Ecrire l’ ́equation de Shr ̈odinguer en repr ́esentation {| p >}. En d ́eduire une relation entre ∂ ∂t |< p | ψ(t) >| 2 et ∂ ∂p |< p | ψ(t) >| 2 . Int ́egrer l’ ́equation ainsi obtenue ; interpr ́etation phy- sique. Exercice 6 : Etalement d’un paquet d’onde On consid ́ere une particule libre en mouvement sur l’axe x ′Ox. 1- Montrer, en appliquant le th ́eor`eme d’Ehrenfest, que < X > est une fonction lin ́eaire du temps, la valeur moyenne < P > restant constante. 2
2- Ecrire les ́equations d’ ́evolution des valeurs moyennes < X2 > et < XP + P X >. Int ́egrer ces ́equations. 3- En d ́eduire qu’avec un choix convenable de l’origine des temps, l’ ́ecart quadratique moyen ∆X est donn ́e par : (∆X) 2 = 1 m2 (∆P) 2 0 t 2 + (∆X) 2 0 o`u (∆X)0 et (∆P)0 sont les ́ecarts quadratiques moyens `a l’instant initial. Comment varie en fonc- tion du temps la largeur du paquet d’onde ? Int ́erpr ́etation physique. ******************************************************************* Exercices suppl ́ementaires Exercice 1 : Particule dans un puit de potentiel infini On consid`ere une particule de masse m en mouvement sur une droite x ′Ox soumise `a un potentiel infini V (x) d ́efini par V (x) = ( 0 si 0 ≤ x ≤ a ∞ si x > a, x < 0 (1) et dont l’ ́etat est rep ́esent ́e par le ket | φ >. 1- Ecrire l’ ́equation de Schr ̈odinger `a l’ ́etat stationnaire de la particule en repr ́esentation | x >. 2- R ́esoudre cette ́equation et d ́eterminer les ́etats propres | φn > ainsi que les ́energies En corres- pondants. On suppose que l’ ́etat de la particule `a l’instant t = 0 est : | ψ(0) >= a1 | φ1 > +a2 | φ2 > +a3 | φ3 > +a4 | φ4 > 3- Quelle est la probabilit ́e, lorsque l’on mesure l’ ́energie de la particule dans l’ ́etat | ψ(0) >, de trouver une valeur inf ́erieure `a 3π 2 ̄h 2 ma2 4- Quels sont la valeur moyenne et l’ ́ecart quadratique moyen de l’ ́energie de la particule dans l’ ́etat | ψ(0) > ? 5- Calculer le vecteur d’ ́etat | ψ(t) > `a l’instant t. Les r ́esultats trouv ́es en 3 et 4 `a l’instant t = 0 restent-ils exacts `a un instant t quelconques ? 6- Lors d’une mesure de l’ ́energie, on trouve le r ́esultat 8π 2 ̄h 2 ma2 . Apr`es la mesure, quel est l’ ́etat du syst`eme ? Que trouve t-on si on mesure `a nouveau l’ ́energie ? Exercice 2 : particule dans un puit de potentiel infini `a deux dimension On consid`ere une particule de masse m dans un puit de potentiel infini de dimension d = 2. Son Hamiltonien est : H = Hx + Hy avec Hx = P 2 x 2m + V (X) Hy = P 2 y 2m + V (Y ) o`u V (R)(R=X,Y) est le potentiel d ́efini par l’ ́equation (1) de l’exercice 3. 1- Parmi les ensembles suivants, {Hx}, {H}, {Hx, Hy}, {H, Hx}, lesquels forment un ECOC ? Jus- tifiez votre r ́eponse. 2- On suppose que l’ ́etat de la particule est d ́ecrit par la fonction d’onde ψ(x, y) = ( N cosπx a cos πy a cos 2πx a cos 2πy a si 0 ≤ x ≤ a et 0 ≤ y ≤ a 0 ailleurs o`u N, est une constante. 2-1 Quelle est la valeur moyenne < H > de l’ ́energie de la particule ? Si on mesure l’ ́energie H, 3
quels r ́esultats peut-on trouver et avec quelles probabilit ́es ? 2-2 On mesure l’observable Hx, quels r ́esultats peut-on trouver et avec quelles probabilit ́e ? Si cette mesure a donn ́e le r ́esultat π 2 ̄h 2 2ma2 ,quels r ́esultats donnera ensuite une mesure de Hy, et avec quelles probabilit ́e ́es ? 2-3 Au lieu d’eff ́ectuer les mesures pr ́ec ́edentes, on effectue maintenant une mesure de Hx et Py, quelles probabilit ́es a t-on de trouver Ex = 9π 2 ̄h 2 2ma2 et p0 ≤ py ≤ p0 + dp ? Exercice 3 Mesures partielles port ́ees sur des sous syst`emes Consid ́erons un syst`eme physique de deux particules (1) et (2), de mˆeme masse m, n’interagissant pas entre elles et plac ́ees toutes les deux dans un puit de potentiel infini de largeur a. On d ́esigne par H(1) et H(2) les hamiltoniens de chacune des deux particules, et par | φn(1) > et | φq(2) > les ́etats propres correspondants de la premi`ere et de la seconde particule, d’ ́energies En = π 2 ̄h 2 2ma2 n 2 et Eq = π 2 ̄h 2 2ma2 q 2 . Dans l’espace des ́etats du syst`eme global, on consid`ere la base des ́etats | φnφq > d ́efinis par : | φnφq >=| φn(1) > ⊗ | φq(2) >. 1- Quels sont les ́etats propres et les valeurs propres de l’op ́erateur H = H(1) + H(2), hamiltonien total du syst`eme ? Donner le degr ́e de d ́eg ́en ́erescence des deux niveaux d’ ́energie les plus basses. 2- On suppose que le syst`eme est, `a l’instant t = 0, dans l’ ́etat : | ψ(0) = 1 √ 6 | φ1φ1 > + 1 √ 3 | φ1φ2 > + 1 √ 6 | φ2φ1 > + 1 √ 3 | φ2φ2 > 2-1 Quel est l’ ́etat du syst`eme `a l’instant t ? 2-2 On mesure l’ ́energie total H. Quels r ́esultats peut-on trouver, et avec quelles probabilit ́es ? 2-3 Mˆeme questions si, au lieu de mesurer H, on mesure H(1). 3- Montrer que | ψ(0) > est un ́etat produit tensoriel. Lorsque le syst`eme est dans cet ́etat, 3- 1 Calculer les valeurs moyennes suivantes < H(1) >, < H(2) > et < H(1)H(2) >. Comparer < H(1) >< H(2) > et < H(1)H(2) > ; comment expliquer le r ́esultat obtenu ? 3-2 Montrer que les r ́esultats pr ́ecdents restent valables lorsque l’ ́etat du syst`eme est l’ ́e ́ tat | ψ(t) >, calcul ́e en 2-. 4- On suppose maintenant que l’ ́etat | ψ(0) > est donn ́e par : | ψ(0) = 1 √ 5 | φ1φ1 > + 3 √ 5 | φ1φ2 > + 1 √ 5 | φ2φ1 > Montrer que | ψ(0) > ne peut pas ˆetre mis sous la forme d’un produit tensoriel. Que deviennent alors les r ́eponses aux diverses questions pos ́ees en 3-. 5- 5-1 On mesure H(1) et on trouve E2. Quel est l’ ́etat juste apr`es la mesure ? Peut-on alors dire quelle est l’ ́energie de la particule (2) sans effectuer une mesure de son ́energie ? Et si on trouve E1 pour H(1), qu’en est-il ? 5-2 Le syst`eme ́etant dans l’ ́etat | ψ(0) > d ́efini dans la question 4, on mesure d’abord H(1), puis H(2) ; faire l’inventaire des diff ́erents r ́esultats de mesure et pr ́eciser leurs probabilit ́es. 5-3 Reprendre la question 5-2- quand des mesures sont effectu ́ees dans l’autre ordre c`ad H(2) puis H(1). Commenter. 4