Title Đề thi học sinh giỏi toán 8 - Phòng GD Nga Sơn - 2016-2017- có lời giải.pdf ✅

Phßng gi ̧o dôc & ®μo t1o HuyÖn nga s¬n (§Ò thi gåm cã 01 trang) ®Ò thi häc sinh giái líp 6,7,8 thcs cÊp huyÖn NĂM HỌC: 2016 - 2017 M«n thi: To ̧n 8 Thêi gian lμm bμi: 150 phót Ngμy thi: 04/04/2017 Câu 1: (4 điểm). Cho biểu thức M =     2 2 3 2 3 2 1 1 2 4 1 4 : 3 1 1 1 4 a a a a a a a a a a                   a) Rút gọn M. b) Tìm a để M > 0. c) Tìm giá trị của a để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất. Câu 2: ( 5 điểm). 1) Giải các phương trình: a) 2 4 6 8 98 96 94 92 x x x x        . b) x 6 - 7x3 - 8 = 0. 2) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 2 2 1 x x 2 2(x m) 2 x m x m m x          . 3) Tìm a, b sao cho   3 2 f x ax bx 10x 4     chia hết cho đa thức   2 g x x x 2    . Câu 3: ( 4 điểm). 1) Cho: x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1. Tính A = x2015 + y2015 + z2015 2) Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h, nhưng sau khi đi được 1 giờ người ấy nghỉ hết 15 phút, do đó phải tăng vận tốc thêm 10km/h để đến B đúng giờ đã định. Tính quãng đường AB? Câu 4: (5 điểm). Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O, M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân. b) Chứng minh: ME // BN. c) Từ C kẻ CH  BN ( H  BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng. Câu 5: (2 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2016. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= 2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1 2015 2016 2017 a b c a b c a b c a b c              . .................................... Hết ...................................... Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: .................... §Ò chÝnh thøc

3 Vì : 98 1 + 96 1 - 94 1 - 92 1  0 Do đó: x + 100 = 0  x = -100 Vậy phương trình có nghiệm: x = -100 b) (1đ) Ta có x6 – 7x3 – 8 = 0  (x3 + 1)(x3 – 8) = 0  (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (*) Do x2 – x + 1 = (x – 1 2 ) 2 + 3 4 > 0 và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với mọi x, nên (*)  (x + 1)(x – 2) = 0  x {- 1; 2} 2) (2đ) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm. 2 2 1 2 2( ) 2 x x x m x m x m m x          (1) ĐKXĐ: x+ m  0 và x- m  0    x m (1 )( ) ( 2)( ) 2 2( ) (2 1) 2(*) x x m x x m x m m x m              + Nếu 2m -1= 0 1 2   m ta có (*) 0x = 3 2  (vô nghiệm) + Nếu m 1 2  ta có (*) 2 2 1 m x m     - Xét x = m 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 2 2 0 1 0 0 2 4 m m m m m m m m m m m                           (Không xảy ra vì vế trái luôn dương) Xét x= - m 2 2 2 2 2 1 1 2 1                m m m m m m m m Vậy phương trình vô nghiệm khi 1 2 m  hoặc m = 1 3)(1đ) Ta có :      2 g x x x 2= x 1 x 2      Vì   3 2 f x ax bx 10x 4     chia hết cho đa thức   2 g x x x 2    Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)       3 2     ax bx 10x 4= x+2 . x-1 .q x Với x=1 a+b+6=0 b=-a-6 1     Với x=-2 2a-b+6=0 2    0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
4 Thay (1) vào (2) . Ta có : a=-4 và b=-2 0.25đ 3 (4,0đ) 1)(2đ) Từ x + y + z = 1  (x + y + z)3 = 1 Mà: x 3 + y3 + z3 = 1  (x + y + z)3 - x 3 - y 3 - z 3 = 0              2 3 3 3 3 2 2 2 0 0 x y z z x y x y z z x y z x y z z z x y x xy y                              2 2 2 2 2 2 2               x y x y z y yz yz z z x xy y 2x 2 2xz+xz 0         2 3z 3x 3 3xz 0 3 0 0 0 0 x y y yz x y y z x z x y x y y z y z x z x z                                    * Nếu 2015 2015 2015 x y z A x y z          1 1 * Nếu 2015 2015 2015 y z x A x y z          1 1 * Nếu 2015 2015 2015 x z y A x y z          1 1 2) (2điểm). Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB. ĐK x > 0. Thời gian dự định đi hết quãng đường: 30 x (giờ) Quãng đường đi được sau 1 giờ: 30 (km) Quãng đường còn lại : (x-30) (km) Thời gian đi quãng đường còn lại : 30 40 x  (giờ) Lập được phương trình : 1 30 1 30 4 40 x x         4 30.5 3( 30) x x  x 60 (thỏa mã đk) Vậy quãng đường AB là 60km 0,25 0,25 0,25 0.25đ 0,5 0,5