Title Toán 12_Tập 2 C5_Bài 1. Phương trình mặt phẳng CTST_bản GV.pdf ✅

1 PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƢỜNG Chƣơng V. PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƢỜNG THẲNG, MẶT CẦU Bài 1. Phƣơng trình mặt phẳng A. Kiến thức cần nhớ 1. Vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phƣơng.  Vectơ pháp tuyến: Vectơ n  0 là VTPT của mp (P) nếu giá của n vuông góc với mp (P).  Nếu hai vectơ u v   0; 0 không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên mp (P) thì uv, được gọi là cặp vec tơ chỉ phƣơng của mặt phẳng (P) và n u v    ,   là vectơ pháp tuyến của mp (P). Cụ thể: 1 1 1 2 2 2 u x y z v x y z   ( ; ; ); ( ; ; ) thì   1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 w u v y z y z z x z x x y x y      ; ( ; ; ) . Vectơ w vuông góc với cả hai vectơ u và v và được gọi là tích có hướng của hai vectơ u và v . Chú ý:  Nếu n 0 là v ctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P th k n k . , ( 0) c ng là v ctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ). P  Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết được một điểm và một vectơ pháp tuyến hoặc một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó. 2. Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng.  Mặt phẳng (α) đi qua điểm ( ; ; ) M x y z o o o o và có vectơ pháp tuyến n  (A; B; C) th mp(α) có phương trình: 0 0 0 : – – – 0 A x x B y y C z z hay Ax By Cz D 0 với D Ax By Cz o o o được gọi là hệ số tự do của phương tr nh.  Phương tr nh đoạn chắn: Mp (α) đi qua 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương tr nh: (α): 1 x y z a b c    3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song – vuông góc.  Cho hai mặt phẳng 1 1 1 1 ( ): 0 P Ax B y C z D và 2 2 2 2 ( ): 0 Q Ax B y C z D có vectơ pháp tuyến lần lượt là 1 1 1 1 2 2 2 2 n A B C n A B C ( ; ; ); ( ; ; ). 1 2 1 2 ( ) ( ) , ( ) n kn P Q k D kD 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) . 0 0. P Q n n AA B B C C 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm ( ; ; ) M x y z M M M đến mặt phẳng ( ): 0 P Ax By Cz D được xác định bởi công thức: 222 ( ;( )) Ax By Cz D M M M d M P A B C B. Các dạng bài tập & phƣơng pháp giải Dạng 1. Tìm vectơ pháp tuyến – cặp vectơ chỉ phƣơng Ví dụ 1. T m v ctơ pháp tuyến của các mặt phẳng P Oxy Oyz Oxz ; ; ; .
2 Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD A B C D      . a) Tìm một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( ) ABCD . b) Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) ABCD . Lời giải tham khảo a) Vì AB và AD không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng ( ) ABCD nên AB AD , là một cặp vectơ chỉ phương của ( ) ABCD . b) Vì AA ABCD ( )   nên AA là một vectơ pháp tuyến của ( ) ABCD Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ m = (1; 0; - 3), n = (0; 0; 3). Hãy t m vectơ p khác 0 vuông góc với cả hai vectơ m và n . Ví dụ 4. Cho mặt phẳng ( ) P có cặp vectơ chỉ phương là a b     (1;3;5), ( 3; 1;1). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P . Lời giải tham khảo Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P là: . 3 5 5 1 1 3 [ , ] ; ; (8; 16;8) 1 1 1 3 3 1 n a b               Ví dụ 5. T m v ctơ pháp tuyến của mp (P) biết cặp v c tơ chỉ phương là a) a b     1;3;5 , 3; 1;1    b) m n     1;2;3 , 3;4;1    c) u v    4;2;3 , 3;2;1    Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng qua ba điểm A B C (2; 1;3), (4;0;1), ( 10;5;3)   . Lời giải tham khảo Ta có AB AC     (2;1; 2), ( 12;6;0) nên AB AC , không cùng phương. Mà chúng có giá nằm trong mặt phẳng (ABC nên AB AC , là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( ) ABC . Vậy một vectơ pháp tuyến của ( ) ABC là:
3 1 2 2 2 2 1 [ , ] ; ; (1.0 6 ( 2);( 2).( 12) 0.2;2.6 ( 12).1) (12;24;24) 6 0 0 12 12 6 n AB AC                       (Ta c ng có thể chọn vectơ 1 (1;2;2) 12 n n    là một vectơ pháp tuyến của ( ) ABC ). Ví dụ 7. Cho biết hai vectơ a b    (2;1;1), (1; 2;0) có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong Hình vẽ . T m vectơ n có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành ba đường thẳng đôi một vuông góc.) Ví dụ 8. Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là m t, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực F để vặn con ốc ở vị trí O (H.vẽ) thì moment lực M được tính bởi công thức M OP F  [ , ]. a) Cho OP x y z F a b c   ( ; ; ), ( ; ; ) . Tính M . b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động F trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P  sao cho OP OP 2   thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều g để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc? Lời giải tham khảo a) Ta có [ , ] ; ; y z z x x y M OP F b c c a a b             ( ; ; ) yc bz za cx bx ay b) Vì OP OP 2   nên 2 (2 ;2 ;2 ) OP x y z 
4 Khi đó 2 2 2 2 2 2 , ; ; y z z x x y M OP F b c c a a b                   (2 2 ;2 2 ;2 2 ) yc b z za cx bx ay Suy ra M M2   . Vậy giữ nguyên lực tác động F trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P  sao cho OP OP 2   thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Kết luận: Từ kết quả trên, ta có thể rút ra rằng để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc, ta nên tăng khoảng cách từ điểm tác dụng lực đến trục quay (điểm O ). Dạng 2. Viết phƣơng trình mặt phẳng Ví dụ 9. Chỉ ra v ctơ pháp tuyến trong các mặt phẳng sau a) 2 3 2 0 x y z     b) x y z     5 3 0 c) x z    6 0 d) 2 1 0 y z    Ví dụ 10. Cho hai mặt phẳng ( ),( ) P Q có phương tr nh tổng quát là ( ):3 5 7 5 0 và ( ): 2 0. P x y z Q x y        a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng ( ),( ) P Q . b) T m điểm thuộc mặt phẳng ( ) P trong số các điểm: A B (1;3;1), (1;2;3). Lời giải tham khảo a) Mặt phẳng ( ) P có một vectơ pháp tuyến là n   (3; 5;7). ( ) Q có một vectơ pháp tuyến là n (1;1;0)   . b) Thay toạ độ điểm A vào phương tr nh của ( ) P , ta được: 3.1 5.3 7.1 5 0.     Vậy A thuộc ( ) P . Thay toạ độ điểm B vào phương tr nh ( ) P , ta được: 3.1 5.2 7.3 5 19 0.      Vậy B không thuộc ( ) P . Ví dụ 11. Viết phương tr nh mặt phẳng ( ) P đi qua điểm M(1;2;3) và có vectơ pháp tuyến n  (1;2;1) . Lời giải tham khảo Vì ( ) P đi qua điểm M(1;2;3) và có vectơ pháp tuyến n  (1;2;1) nên phương tr nh của ( ) P là 1( 1) 2( 2) 1( 3) 0 2 8 0. x y z x y z            Ví dụ 12. Viết phương tr nh mặt phẳng ( ) P đi qua điểm N(4;0;1) và có cặp vectơ chỉ phương là a b   (1;2;1), (2;1;3) . Lời giải tham khảo ( ) P có cặp vectơ chỉ phương là a b   (1;2;1), (2;1;3) , suy ra ( ) P có vectơ pháp tuyến là n a b         [ , ] (2.3 1.1;1.2 1.3;1.1 2.2) (5; 1; 3) . Phương tr nh của ( ) P là: 5( 4) 1( 0) 3( 1) 0 5 3 17 0. x y z x y z            Ví dụ 13. Viết phương tr nh mặt phẳng ( ) P đi qua ba điểm A B C (1;1;1), (1;2;2), (4;1;0). Lời giải tham khảo ( ) P đi qua ba điểm A B C (1;1;1), (1;2;2), (4;1;0) nên có cặp vectơ chỉ phương là AB AC    (0;1;1), (3;0; 1) , suy ra ( ) P có vectơ pháp tuyến là: n AB AC     [ , ] ( 1;3; 3). Phương tr nh của ( ) P là             1( 1) 3( 1) 3( 1) 0 3 3 1 0. x y z x y z Ví dụ 14. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A a B b C c ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) với a, b, c đều khác 0 . Viết phương tr nh mặt phẳng ( ) P đi qua ba điểm A, B, C. Lời giải tham khảo ( ) P có một cặp vectơ chỉ phương là AB a b  ( ; ;0), AC a c  ( ;0; ) , do đó ( ) P có một vectơ pháp tuyến là n AB AC bc ac   [ , ] ( ; ; ab) . Suy ra ( ) P có phương tr nh: bc x a ac y ab z ( ) ( 0) ( 0) 0       hay 0. bcx acy abz abc    