Title Đề Thi Olympic Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 2018 [Đáp Án].pdf ✅

16 CH◊ÃNG 1. BÀ ó THI HSGSO 2014 2019 Ngày thi th ̆ hai (06/05/2018). Bài 5. Cho dãy sË nguyên d ̃Ïng (an) th‰a mãn an+1 = a3 n + 4an vÓi mÂi n 1. Tìm giá tr‡ nh‰ nhßt cıa a1 ∫ a2018 + 2018 chia h∏t cho 57. Bài 6. Cho tam giác ABC nhÂn có tr ̧c tâm H. Các i∫m E,F l¶n l ̃Òt thuÎc các o§n thØng CA, AB sao cho EF ti∏p xúc vÓi ̃Ìng tròn ngo§i ti∏p tam giác BHC. K là tâm ngo§i ti∏p tam giác AEF. KC, KB l¶n l ̃Òt c≠t các ̃Ìng tròn ngo§i ti∏p tam giác KAE, KAF theo th ̆ t ̧ t§i M,N khác K. Ch ̆ng minh r ̈ng EF ti∏p xúc vÓi ̃Ìng tròn ngo§i ti∏p tam giác AMN. Bài 7. Cho n 3 là sË nguyên d ̃Ïng. Trong m∞t phØng tÂa Î Oxy, gi£ s ̊ tÁn t§i mÎt a giác lÁi n c§nh th‰a mãn các i∑u kian sau: - MÈi ønh cıa a giác có hoành Î, tung Î là các sË h ̇u tø. - Tßt c£ n c§nh cıa a giác có Î dài b ̈ng nhau. Ch ̆ng minh r ̈ng n là sË chÆn.
44 CH◊ÃNG 2. LÕI GIÉI ó HSGSO 2014 2019 2.5 N ́m 2018 Bài 1. Tìm tßt c£ các sË nguyên a 6= 1 sao cho A = a6 1 a 1 là sË chính ph ̃Ïng. LÌi gi£i. Dπ thßy a = 0, a = 1 th‰a mãn bài toán. Xét |a| 2. Lúc này a6 1 > 0, k∏t hÒp vÓi A 0 nên a 2. M∞t khác ta có A = a6 1 a 1 = (a3 + 1)(a2 + a + 1). GÂi d = (a3 + 1, a2 + a + 1), rõ ràng d l¥ và ( d | a3 + 1 d | a3 1 . Suy ra d|2, d®n ∏n d = 1. Tóm l§i (a3 + 1, a2 + a + 1) = 1. Do ó a2 +a+ 1 là sË chính ph ̃Ïng, mà a2 < a2 +a+ 1 < (a+ 1)2 nên trong tr ̃Ìng hÒp này ta không tìm ̃Òc a th‰a mãn bài toán. VTMy a = 1, a = 0 là các giá tr‡ c¶n tìm. Bài 2. Tìm tßt c£ a th ̆c ha sË th ̧c P(x) th‰a mãn P(0) = 1 và P(x2 + 1) = (P(x) 2 )+2xP(x) vÓi mÂi x 2 R. LÌi gi£i. ∞t Q(x) = P(x) + x, khi ó ph ̃Ïng trình ã cho tr thành Q(x2 + 1) = (Q(x))2 + 1. Xét dãy sË sau: ( x0 = 0 xn+1 = x2 n + 1 Ta ch ̆ng minh b ̈ng quy n§p r ̈ng: Q(xn) = xn+1, 8n 2 N. (1) ThTMt vTMy, ta có Q(x0) = Q(0) = P(0) = 1 = x1 nên (1) úng vÓi n = 0. Gi£ s ̊ (1) úng vÓi n 1 ( n 2), t ̆c là Q(xn 1) = xn. Khi ó Q(xn) = Q(x2 n 1 + 1) = (Q(xn 1))2 +1= x2 n +1= xn+1. Nh ̃ vTMy (1) úng vÓi n nên theo nguyên l ̨ quy n§p, ta có (1) úng vÓi mÂi sË t ̧ nhiên n. Do ó, a th ̆c Q(x) x2 1 nhTMn mÂi ph¶n t ̊ cıa dãy sË (xn) làm nghiam (các ph¶n t ̊ cıa dãy sË này ôi mÎt phân biat) nên Q(x) x2 1=0. T ̄ ó ta thu ̃Òc Q(x) = x2 + 1 và a th ̆c c¶n tìm là P(x) = x2 x + 1.
2.5. NãM 2018 45 Bài 3. Cho tam giác ABC nhÂn có tr ̧c tâm H. i∫m P di chuy∫n trên c§nh BC. Lßy các i∫m Q và R sao cho P Q ? CA, CQ ? BC, PR ? AB, BR ? BC. a) Ch ̆ng minh r ̈ng ̃Ìng thØng QR i qua H. b) Ch ̆ng minh r ̈ng ̃Ìng thØng qua P vuông góc vÓi QR luôn i qua mÎt i∫m cË ‡nh khi P thay Íi. LÌi gi£i. a) GÂi P R \ AB = X, P Q \ AC = Y và D là chân ̃Ìng cao h§ t ̄ A cıa tam giác ABC. GÂi trung i∫m cıa AP là N và trung i∫m cıa BC là M. Rõ ràng (AP) i qua các i∫m X, D, Y và (BC) ti∏p xúc vÓi RB, QC . M∞t khác, ta có PR/(BC) = RB2 = RX · RP = PR/(AP). Do ó P có cùng ph ̃Ïng tích vÓi hai ̃Ìng tròn (AP) và (BC). T ̃Ïng t ̧ ta cÙng có Q cùng ph ̃Ïng tích vÓi hai ̃Ìng tròn này. D®n ∏n P Q là trˆc Øng ph ̃Ïng cıa (AP) và (BC). Ngoài ra PH/(AP) = HA · HD = HB · HE = PH/(BC). Suy ra H 2 RQ nên ta có i∑u ph£i ch ̆ng minh.