Title Đề Thi Olympic Toán Duyên Hải Bắc Bộ 2018-2019 (Khối 11) [Đáp Án].pdf ✅

0 0 0 3 1 3 3 5 . 5 5 5 2 3 1 5 k k k n k u n u b u b u b                              Do đó    un k b 0 với k đủ lớn tức là u  b   n với n đủ lớn và   0 nhỏ tuỳ ý. Vậy lim un  b Hay dãy   un có giới hạn hữu hạn (đpcm). 0,5 2 Đề xuất của trường THPT chuyên Lào Cai, tỉnh Lào Cai Cho ABC có đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với BC CA AB , , ở D E F , , . Đường thẳng qua A song song BC cắt DE DF , lần lượt tại M N, . Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN cắt đường tròn I tại điểm L khác D . a) Chứng minh A K L , , thẳng hàng. b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tại M N, cắt EF tại U V, . Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN . 4,0
a) Trước hết ta chứng minh K là trực tâm MDN . Thật vậy: Do AN BC nên ANF FDB  . Do D E F , , là tiếp điểm của I trên BC CA AB , , nên BD BF       BDF BFD ANF BFD AFN ANF cân tại A AN AF   . Chứng minh tương tự ta có AM AE  mà AE AF  nên AN AF AE AM    NEM vuông tại E ; NFM vuông tại F    NE MD MF ND ; mà NE MF K suy ra K là trực tâm MDN 1,0 -Bây giờ ta chứng minh A K L , , thẳng hàng: + Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN . Gọi D' là điểm đối xứng của D qua T . Ta có ND KM ' (vì cùng vuông góc với ND ), MD KN ' (vì cùng vuông góc với MD ). Do đó ND MK ' là hình bình hành. Do A là trung điểm MN nên K cũng là trung điểm KD’. Do đó D’, A, K thẳng hàng. (1) + Hơn nữa, tứ giác DFKL nội tiếp đường tròn đường kính DK nên DL vuông góc với LK. Mặt khắc DD’ là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN nên DL vuông góc với LD’. Do đó L, K, D’ thẳng hàng. (2) Từ (1) và (2) suy ra A K L , , thẳng hàng (đpcm). 1,0 b) Gọi P là giao của UL và DMN P L   ; Q là giao LV và DMN Q L  . Do MU tiếp xúc DMN tại M nên DMU DNM  . Lại có MEU FNM  (do NMEF nội tiếp đường tròn đường kính MN ) nên UME UEM  UME cân tại 1,0