Title Chương 5_Bài 3_ _Lời giải_Toán 12_CD.docx ✅

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA MẶT CẦU Cho trước điểm I và số dương R . Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I một khoảng bằng R . Nhận xét: - Điểm M thuộc mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IMR . - Điểm M nằm trong mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IMR . - Điểm M nằm ngoài mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IMR . Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu tâm (2;1;5)I bán kính 3. Các điểm 10;1;2,0;1;4AB và 0;3;4C nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu đó? Lời giải Do 22210211251533IA nên điểm 10;1;2A nằm ngoài mặt cầu đó. Vì 22202114553IB nên điểm 0;1;4B nằm trong mặt cầu đó. Do 22202314593IC nên điểm 0;3;4C nằm trên mặt cầu đó. II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương trình của mặt cầu tâm ;;Iabc bán kính R là: 2222.xaybzcR Ví dụ 2. Viết phương trình của mặt cầu, biết: a) 1;2;3I bán kính 10R ; b) Tâm 3;1;5I và đi qua điểm 0;2;1B . Lời giải a) Phương trình của mặt cầu tâm 1;2;3I bán kính 10R là: 222123100xyz . b) Bán kính mặt cầu là: 22203211554RIB
Phương trình của mặt cầu tâm 3;1;5I bán kính 54R là: 22231554xyz . Nhận xét - Cho mặt cầu tâm ;;Iabc bán kính R có phương trình là: 2222xaybzcR Ta có thể viết phương trình đó về dạng: 2222220 xyzaxbyczd với 2222. dabcR Vậy mỗi mặt cầu đều có phương trình dạng: 2222220xyzaxbyczd . - Ngược lại, xét phương trình có dạng: 2222220xyzaxbyczd . Ta có: 2222220xyzaxbyczd 222222222 222xaxaybybzczcabcd 222222xaybzcabcd Do đó, phương trình 2222220xyzaxbyczd xác định một mặt cầu khi và chỉ khi 222 0abcd . Ngoài ra, nếu 2220abcd thì phương trình đó xác định mặt cầu tâm ;;Iabc và bán kính 222Rabcd . Ví dụ 3. Mỗi phương trình sau có là phương trình mặt cầu hay không? Vì sao? a) 222222210xyzxyz b) 2226830xyxyz . Lời giải a) Phương trình 222222210xyzxyz không phải là phương trình của một mặt cầu vì các hệ số của 2x và 2y khác nhau. b) Phương trình 2226830xyxyz không phải là phương trình của một mặt cầu vì không có biểu thức 2z . Ví dụ 4. Phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu? Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (nếu có). a) 2224102140xyzxyz ; b) 222246200xyzxyz . Lời giải a) Ta có: 22222241021402.2.2.5.2.1.140xyzxyzxyzxyz 22225116xyz Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm 2;5;1I bán kính 164R .
b) Ta có: 2222222462002.1.2.2.2.3.200xyzxyzxyzxyz 22212360xyz Vậy phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu. III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG THỰC TIỄN Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động (Hình 40) được đặt ở vị trí 3;2;7I . a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3 km. b) Điểm 2;1;8A nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoại ở điểm 2;1;8A thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không? c) Điểm 2;3;4B nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoạiở điểm 2;3;4B thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không? Lời giải a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là: 2223279.xyz Ta có 22223128733IA . Vì IAR nên điểm A nằm trong mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở điểm 2;1;8A có thể sử dụng dịch vụ của trạm này. c) Ta có: 222233247353IB . Vì IBR nên điểm B nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở điểm 2;3;4B không thể sử dụng dịch vụ của trạm này. Ví dụ 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng (Hình 41) được đặt ở vị trí 21;35;50I .
a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng, biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km . b) Nếu người đi biển ở vị trí 42;37;0C thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng hay không? c) Nếu người đi biển ở vị trí 5121;658;0D thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng hay không? Lời giải a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là: 22222135504000.xyz b) Ta có 2224221373505029454000IC . Vì ICR nên điểm C nằm trong mặt cầu. Vậy người đi biển ở điểm 42;37;0C thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng. c) Ta có: 22251212165835050264006294000ID . Vì IDR nên điểm D nằm ngoài mặt cầu. Vậy người đi biển ở điểm 5121;658;0D không thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng. B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 1. Tâm của mặt cầu 222:23416xyz có tọa độ là: A. 2;3;4 . B. 2;3;4 . C. 2;3;4 . D. 2;3;4 . Lời giải Chọn B Tâm của mặt cầu 222:23416Sxyz có tọa độ là 2;3;4 . 2. Bán kính của mặt cầu 222:1239Sxyz bằng: A. 3 B. 9 . C. 81 . D. 3 .